Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
f) \operatorname{sen} z e \cos z são funções periódicas de período 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções \operatorname{sen}z e \cos z, definidas em \mathbb{C}, são periódicas de período 2\pi.
Informações dadas / objetivo claro:
  • Queremos mostrar que, para todo z\in\mathbb{C}, \operatorname{sen}(z+2\pi)=\operatorname{sen}z \qquad\text{e}\qquad \cos(z+2\pi)=\cos z.
  • Também é útil identificar o conjunto completo de períodos (ou seja, provar que os períodos são exatamente os múltiplos inteiros de 2\pi).

Passo 2

Definições e propriedade do exponencial complexa que vamos usar (aulas rápidas, passo a passo):
  • Para números complexos usa-se as fórmulas via exponencial complexa: \operatorname{sen}z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.Aqui e^{w} é a exponencial complexa: se w=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então e^{w}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y).Essa fórmula mostra como oscila a parte imaginária.
  • Uma identidade chave: para qualquer inteiro k, e^{i\cdot 2\pi k}= \cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1.Em particular, e^{i2\pi}=1. Isso vem do caso x=0 e y=2\pi k na expressão anterior.

Passo 3

Mostrando diretamente a periodicidade de período 2\pi usando as definições exponenciais:
  • Calcule \operatorname{sen}(z+2\pi): \operatorname{sen}(z+2\pi) =\frac{e^{i(z+2\pi)}-e^{-i(z+2\pi)}}{2i} =\frac{e^{iz}e^{i2\pi}-e^{-iz}e^{-i2\pi}}{2i}.Como e^{i2\pi}=1 e e^{-i2\pi}=1, isso vira \operatorname{sen}(z+2\pi) =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} =\operatorname{sen}z.
  • Calcule \cos(z+2\pi) de forma análoga: \cos(z+2\pi) =\frac{e^{i(z+2\pi)}+e^{-i(z+2\pi)}}{2} =\frac{e^{iz}e^{i2\pi}+e^{-iz}e^{-i2\pi}}{2} =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} =\cos z.
Portanto ambas são periódicas com período 2\pi.

Passo 4

Observação sobre múltiplos inteiros de 2\pi:
  • Pelo mesmo raciocínio, para qualquer k\in\mathbb{Z} tem-se e^{i2\pi k}=1, logo \operatorname{sen}(z+2\pi k)=\operatorname{sen}z, \qquad \cos(z+2\pi k)=\cos z.Assim todo 2\pi k é período das duas funções.

Passo 5

Provar que os períodos são exatamente os múltiplos de 2\pi (ou seja, 2\pi é o menor período positivo):
  • Suponha w\in\mathbb{C} é período comum de \operatorname{sen}z, i.e. \operatorname{sen}(z+w)=\operatorname{sen}z para todo z. Usando a forma exponencial, escreva 0=\operatorname{sen}(z+w)-\operatorname{sen}z =\frac{e^{iz}(e^{iw}-1)-e^{-iz}(e^{-iw}-1)}{2i}.Multiplicando por 2i e reorganizando: e^{iz}(e^{iw}-1)=e^{-iz}(e^{-iw}-1).Multiplique ambos os lados por e^{iz}: e^{2iz}(e^{iw}-1) = e^{-iw}-1.Aqui, se e^{iw}-1\neq 0 então a equação diz que e^{2iz} é uma constante (igual a (e^{-iw}-1)/(e^{iw}-1)) para todo z; isso é impossível porque variando z a quantidade e^{2iz} percorre infinitos valores (pode assumir qualquer valor complexo não nulo). Logo a única possibilidade é e^{iw}-1=0,isto é, e^{iw}=1.
  • Resolver e^{u}=1 para u\in\mathbb{C}: escreva u=a+ib. Então e^{u}=e^{a}(\cos b + i\sin b)=1.Isso exige e^{a}=1 e \cos b=1,\\ \sin b=0. Logo a=0 e b=2\pi k com k\in\mathbb{Z}. Assim u=2\pi i k.
  • No nosso caso u=iw, então iw=2\pi i k, daí w=2\pi k.
  • Conclusão: qualquer período w de \operatorname{sen}z (ou, pelo mesmo argumento aplicado a \cos z, de \cos z) é necessariamente da forma w=2\pi k. Portanto o conjunto de períodos é exatamente \{2\pi k : k\in\mathbb{Z}\} e o menor período positivo é 2\pi.

Passo 6

Resumo final e conselho rápido (amigável):
  • Demonstrei passo a passo que, usando as fórmulas exponenciais, \operatorname{sen}(z+2\pi)=\operatorname{sen}z e \cos(z+2\pi)=\cos z.
  • Mostrei também que qualquer período deve satisfazer e^{iw}=1, o que força w a ser um múltiplo inteiro de 2\pi. Portanto 2\pi é o período fundamental positivo.
  • Dica para a prova: memorize as formas exponenciais e a propriedade e^{i2\pi}=1; com isso a periodicidade aparece em poucos passos — é mecânico e confiável. Vai dar certo!

Resposta

\operatorname{sen}z e \cos z são periódicas com período fundamental 2\pi; o conjunto completo de períodos é \{2\pi k : k\in\mathbb{Z}\}.

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