Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
f)
e
são funções periódicas de período
f)
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as funções
e
, definidas em
, são periódicas de período
.
Informações dadas / objetivo claro:
Informações dadas / objetivo claro:
- Queremos mostrar que, para todo
, - Também é útil identificar o conjunto completo de períodos (ou seja, provar que os períodos são exatamente os múltiplos inteiros de
).
Passo 2
Definições e propriedade do exponencial complexa que vamos usar (aulas rápidas, passo a passo):
- Para números complexos usa-se as fórmulas via exponencial complexa:
Aqui é a exponencial complexa: se com , então Essa fórmula mostra como oscila a parte imaginária. - Uma identidade chave: para qualquer inteiro
, Em particular, . Isso vem do caso e na expressão anterior.
Passo 3
Mostrando diretamente a periodicidade de período
usando as definições exponenciais:
- Calcule
: Como e , isso vira - Calcule
de forma análoga:
Portanto ambas são periódicas com período
.
Passo 4
Observação sobre múltiplos inteiros de
:
- Pelo mesmo raciocínio, para qualquer
tem-se , logo Assim todo é período das duas funções.
Passo 5
Provar que os períodos são exatamente os múltiplos de
(ou seja,
é o menor período positivo):
- Suponha
é período comum de , i.e. para todo . Usando a forma exponencial, escreva Multiplicando por e reorganizando: Multiplique ambos os lados por : Aqui, se então a equação diz que é uma constante (igual a ) para todo ; isso é impossível porque variando a quantidade percorre infinitos valores (pode assumir qualquer valor complexo não nulo). Logo a única possibilidade é isto é, . - Resolver
para : escreva . Então Isso exige e . Logo e com . Assim . - No nosso caso
, então , daí . - Conclusão: qualquer período
de (ou, pelo mesmo argumento aplicado a , de ) é necessariamente da forma . Portanto o conjunto de períodos é exatamente e o menor período positivo é .
Passo 6
Resumo final e conselho rápido (amigável):
- Demonstrei passo a passo que, usando as fórmulas exponenciais,
e . - Mostrei também que qualquer período deve satisfazer
, o que força a ser um múltiplo inteiro de . Portanto é o período fundamental positivo. - Dica para a prova: memorize as formas exponenciais e a propriedade
; com isso a periodicidade aparece em poucos passos — é mecânico e confiável. Vai dar certo!