Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
g) \operatorname{sen}\left(z_{1} \pm z_{2}\right)=\operatorname{sen} z_{1} \cdot \cos z_{2} \pm \operatorname{sen} z_{2} \cdot \cos z_{1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar (provar) a identidade
\operatorname{sen}\left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\operatorname{sen} z_{1}\cdot\cos z_{2}\pm \operatorname{sen} z_{2}\cdot\cos z_{1},
onde z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • As variáveis z_{1} e z_{2} são números complexos arbitrários.
  • Deve-se mostrar que a fórmula de adição para o seno válida em \mathbb{R} também vale em \mathbb{C} (ou seja, provar a identidade para argumentos complexos).
  • Não há outras hipóteses; pode-se usar as definições usuais de \operatorname{sen} e \cos em termos de exponenciais complexas.

Passo 2

Lembrando as definições exponenciais (essas são a base para estender seno e cosseno ao plano complexo). Para qualquer z\in\mathbb{C} definimos:
\operatorname{sen} z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Explicando cada parte:
  • e^{w} é a exponencial complexa para w\in\mathbb{C}; vale a propriedade multiplicativa e^{a+b}=e^{a}e^{b} para quaisquer a,b\in\mathbb{C}.
  • Essas fórmulas reduzem às fórmulas de Euler quando z é real, e são a definição padrão para seno e cosseno complexos.
  • Vou usar essas definições para manipular \operatorname{sen}(z_1\pm z_2) algebricamente.

Passo 3

Começo provando o caso com o sinal +. Usando a definição:
\operatorname{sen}(z_{1}+z_{2}) =\frac{e^{i(z_{1}+z_{2})}-e^{-i(z_{1}+z_{2})}}{2i}.
Pela propriedade da exponencial:
e^{i(z_{1}+z_{2})}=e^{iz_{1}}e^{iz_{2}}, \qquad e^{-i(z_{1}+z_{2})}=e^{-iz_{1}}e^{-iz_{2}}.
Logo
\operatorname{sen}(z_{1}+z_{2}) =\frac{e^{iz_{1}}e^{iz_{2}}-e^{-iz_{1}}e^{-iz_{2}}}{2i}.

Passo 4

Agora escrevo os termos do lado direito da identidade desejada com as definições exponenciais, para depois somá-los e comparar.
Calculemos primeiro \operatorname{sen} z_{1}\cdot\cos z_{2}:
\operatorname{sen} z_{1}\cdot\cos z_{2} =\left(\frac{e^{iz_{1}}-e^{-iz_{1}}}{2i}\right)\left(\frac{e^{iz_{2}}+e^{-iz_{2}}}{2}\right) =\frac{1}{4i}\bigl(e^{iz_{1}}-e^{-iz_{1}}\bigr)\bigl(e^{iz_{2}}+e^{-iz_{2}}\bigr).
E agora \operatorname{sen} z_{2}\cdot\cos z_{1}:
\operatorname{sen} z_{2}\cdot\cos z_{1} =\left(\frac{e^{iz_{2}}-e^{-iz_{2}}}{2i}\right)\left(\frac{e^{iz_{1}}+e^{-iz_{1}}}{2}\right) =\frac{1}{4i}\bigl(e^{iz_{1}}+e^{-iz_{1}}\bigr)\bigl(e^{iz_{2}}-e^{-iz_{2}}\bigr).

Passo 5

Somando os dois resultados (pois queremos \operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}+\operatorname{sen} z_{2}\cos z_{1}):
\begin{aligned} \operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}+\operatorname{sen} z_{2}\cos z_{1} &=\frac{1}{4i}\Bigl[(e^{iz_{1}}-e^{-iz_{1}})(e^{iz_{2}}+e^{-iz_{2}})\\\ &\qquad\qquad+(e^{iz_{1}}+e^{-iz_{1}})(e^{iz_{2}}-e^{-iz_{2}})\Bigr]. \end{aligned}
Faço a expansão dos produtos no colchete (vou mostrar termo a termo para ficar claro):
  • Primeiro produto:
(e^{iz_{1}}-e^{-iz_{1}})(e^{iz_{2}}+e^{-iz_{2}}) = e^{iz_{1}}e^{iz_{2}}+e^{iz_{1}}e^{-iz_{2}}-e^{-iz_{1}}e^{iz_{2}}-e^{-iz_{1}}e^{-iz_{2}}.
  • Segundo produto:
(e^{iz_{1}}+e^{-iz_{1}})(e^{iz_{2}}-e^{-iz_{2}}) = e^{iz_{1}}e^{iz_{2}}-e^{iz_{1}}e^{-iz_{2}}+e^{-iz_{1}}e^{iz_{2}}-e^{-iz_{1}}e^{-iz_{2}}.
Somando as duas expressões termo a termo, os termos mistos e^{iz_{1}}e^{-iz_{2}} e -e^{iz_{1}}e^{-iz_{2}} se cancelam, assim como -e^{-iz_{1}}e^{iz_{2}} com +e^{-iz_{1}}e^{iz_{2}}. O que resta é:
\text{soma dos colchetes} = 2e^{iz_{1}}e^{iz_{2}} - 2e^{-iz_{1}}e^{-iz_{2}}.

Passo 6

Substituindo esse resultado na expressão da soma:
\operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}+\operatorname{sen} z_{2}\cos z_{1} =\frac{1}{4i}\cdot\bigl(2e^{iz_{1}}e^{iz_{2}}-2e^{-iz_{1}}e^{-iz_{2}}\bigr) =\frac{1}{2i}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}-e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr).
Mas a expressão à direita é exatamente a definição de \operatorname{sen}(z_{1}+z_{2}). Portanto obtém-se
\operatorname{sen}(z_{1}+z_{2})=\operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}+\operatorname{sen} z_{2}\cos z_{1}.

Passo 7

Agora trato o caso com o sinal -. Duas maneiras rápidas:
  • Repetir a mesma conta substituindo z_{2} por -z_{2}; ou
  • Usar a paridade de seno e cosseno (segundo as definições exponenciais):
\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen} z, \qquad \cos(-z)=\cos z,
pois
\operatorname{sen}(-z)=\frac{e^{-iz}-e^{iz}}{2i}=-\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=-\operatorname{sen} z,
\cos(-z)=\frac{e^{-iz}+e^{iz}}{2}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cos z.
Usando a identidade já provada com z_{2} substituído por -z_{2}:
\operatorname{sen}(z_{1}-z_{2}) =\operatorname{sen}\bigl(z_{1}+(-z_{2})\bigr) =\operatorname{sen} z_{1}\cos(-z_{2})+\operatorname{sen}(-z_{2})\cos z_{1}.
Aplicando as propriedades de paridade:
\operatorname{sen}(z_{1}-z_{2}) =\operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}-\operatorname{sen} z_{2}\cos z_{1}.

Resposta

\operatorname{sen}\left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\operatorname{sen} z_{1}\cdot \cos z_{2}\pm \operatorname{sen} z_{2}\cdot \cos z_{1}

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