Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede para verificar (provar) a identidade
onde
.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
- As variáveis
e são números complexos arbitrários. - Deve-se mostrar que a fórmula de adição para o seno válida em
também vale em (ou seja, provar a identidade para argumentos complexos). - Não há outras hipóteses; pode-se usar as definições usuais de
e em termos de exponenciais complexas.
Passo 2
Lembrando as definições exponenciais (essas são a base para estender seno e cosseno ao plano complexo). Para qualquer
definimos:
Explicando cada parte:
-
é a exponencial complexa para ; vale a propriedade multiplicativa para quaisquer . - Essas fórmulas reduzem às fórmulas de Euler quando
é real, e são a definição padrão para seno e cosseno complexos. - Vou usar essas definições para manipular
algebricamente.
Passo 3
Começo provando o caso com o sinal
. Usando a definição:
Pela propriedade da exponencial:
Logo
Passo 4
Agora escrevo os termos do lado direito da identidade desejada com as definições exponenciais, para depois somá-los e comparar.
Calculemos primeiro
:
E agora
:
Passo 5
Somando os dois resultados (pois queremos
):
Faço a expansão dos produtos no colchete (vou mostrar termo a termo para ficar claro):
- Primeiro produto:
- Segundo produto:
Somando as duas expressões termo a termo, os termos mistos
e
se cancelam, assim como
com
. O que resta é:
Passo 6
Substituindo esse resultado na expressão da soma:
Mas a expressão à direita é exatamente a definição de
. Portanto obtém-se
Passo 7
Agora trato o caso com o sinal
. Duas maneiras rápidas:
- Repetir a mesma conta substituindo
por ; ou - Usar a paridade de seno e cosseno (segundo as definições exponenciais):
pois
Usando a identidade já provada com
substituído por
:
Aplicando as propriedades de paridade: