Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
h)
h)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade
para
. As informações relevantes são:
-
e são números complexos quaisquer. - É preciso mostrar que a igualdade vale para ambos os sinais
e .
Passo 2
Vamos usar as definições de cosseno e seno estendidas ao plano complexo, escritas com exponenciais complexas. Essas definições são naturais porque as séries de Taylor de
e
convergem para todos
e coincidem com as expressões em termos de exponencial complexa:
Aqui
é a função exponencial complexa, que satisfaz a propriedade multiplicativa
para quaisquer
. Essas fórmulas são válidas para
complexos e iremos usá‑las para provar a identidade pedida.
Passo 3
Prova da fórmula para o sinal
: calculamos o lado direito
substituindo as expressões em termos de exponenciais. Primeiro escrevemos cada produto:
Note que
.
Agora subtraímos esses dois resultados:
Como
, somando termo a termo obtemos cancelamentos nas partes com sinais opostos e duplicação nas partes que se somam. Fazendo as contas com calma:
E o último termo é exatamente a definição de
aplicada a
:
Assim mostramos
Passo 4
Prova da fórmula para o sinal
: podemos derivá‑la rapidamente usando paridade de
e
. Da definição com exponenciais segue que
Agora aplicamos o caso já provado substituindo
por
:
Usando
e
obtemos
ou seja,
que corresponde à escrita compacta
com o sinal trocado conforme a necessidade.
Passo 5
Concluímos que ambas as identidades (para
e para
) foram verificadas para
usando as expressões exponenciais de
e
e a propriedade multiplicativa da exponencial complexa. Essas igualdades são exatamente as fórmulas de adição para cosseno, válidas no plano complexo.