Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
h) \cos \left(z_{1} \pm z_{2}\right)=\cos z_{1} \cdot \cos z_{2} \mp \operatorname{sen} z_{1} \cdot \operatorname{sen} z_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade
\cos\left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\cos z_{1}\cdot\cos z_{2}\mp \sin z_{1}\cdot\sin z_{2},
para z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}. As informações relevantes são:
  • z_{1} e z_{2} são números complexos quaisquer.
  • É preciso mostrar que a igualdade vale para ambos os sinais + e .

Passo 2

Vamos usar as definições de cosseno e seno estendidas ao plano complexo, escritas com exponenciais complexas. Essas definições são naturais porque as séries de Taylor de \cos e \sin convergem para todos z\in\mathbb{C} e coincidem com as expressões em termos de exponencial complexa:
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
Aqui e^{w} é a função exponencial complexa, que satisfaz a propriedade multiplicativa
e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}
para quaisquer a,b\in\mathbb{C}. Essas fórmulas são válidas para z complexos e iremos usá‑las para provar a identidade pedida.

Passo 3

Prova da fórmula para o sinal +: calculamos o lado direito
\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2}
substituindo as expressões em termos de exponenciais. Primeiro escrevemos cada produto:
\cos z_{1}\cos z_{2} =\frac{e^{iz_{1}}+e^{-iz_{1}}}{2}\cdot\frac{e^{iz_{2}}+e^{-iz_{2}}}{2} =\frac{1}{4}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{i(z_{1}-z_{2})}+e^{i(-z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr).
\sin z_{1}\sin z_{2} =\frac{e^{iz_{1}}-e^{-iz_{1}}}{2i}\cdot\frac{e^{iz_{2}}-e^{-iz_{2}}}{2i} =\frac{1}{-4}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}-e^{i(z_{1}-z_{2})}-e^{i(-z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr).
Note que \dfrac{1}{(2i)(2i)}=\dfrac{1}{-4}.
Agora subtraímos esses dois resultados:
\begin{aligned} \cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2} &=\frac{1}{4}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{i(z_{1}-z_{2})}+e^{i(-z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr)\\\ &\qquad -\frac{1}{-4}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}-e^{i(z_{1}-z_{2})}-e^{i(-z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr). \end{aligned}
Como -\frac{1}{-4}=\frac{1}{4}, somando termo a termo obtemos cancelamentos nas partes com sinais opostos e duplicação nas partes que se somam. Fazendo as contas com calma:
\begin{aligned} \cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2} &=\frac{1}{4}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{i(z_{1}-z_{2})}+e^{i(-z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr)\\\ &\quad +\frac{1}{4}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}-e^{i(z_{1}-z_{2})}-e^{i(-z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr)\\\ &=\frac{1}{4}\bigl(2e^{i(z_{1}+z_{2})}+2e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr)\\\ &=\frac{e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}}{2}. \end{aligned}
E o último termo é exatamente a definição de \cos aplicada a z_{1}+z_{2}:
\frac{e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}}{2}=\cos\bigl(z_{1}+z_{2}\bigr).
Assim mostramos
\cos\bigl(z_{1}+z_{2}\bigr)=\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2}.

Passo 4

Prova da fórmula para o sinal : podemos derivá‑la rapidamente usando paridade de \cos e \sin. Da definição com exponenciais segue que
\cos(-z)=\frac{e^{-iz}+e^{iz}}{2}=\cos z \qquad\text{e}\qquad \sin(-z)=\frac{e^{-iz}-e^{iz}}{2i}=-\sin z.
Agora aplicamos o caso já provado substituindo z_{2} por -z_{2}:
\cos\bigl(z_{1}+(-z_{2})\bigr)=\cos z_{1}\cos(-z_{2})-\sin z_{1}\sin(-z_{2}).
Usando \cos(-z_{2})=\cos z_{2} e \sin(-z_{2})=-\sin z_{2} obtemos
\cos\bigl(z_{1}-z_{2}\bigr)=\cos z_{1}\cos z_{2}+\sin z_{1}\sin z_{2},
ou seja,
\cos\bigl(z_{1}-z_{2}\bigr)=\cos z_{1}\cos z_{2}-\bigl(-\sin z_{1}\sin z_{2}\bigr),
que corresponde à escrita compacta
\cos\bigl(z_{1}\pm z_{2}\bigr)=\cos z_{1}\cos z_{2}\mp\sin z_{1}\sin z_{2},
com o sinal trocado conforme a necessidade.

Passo 5

Concluímos que ambas as identidades (para + e para ) foram verificadas para z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} usando as expressões exponenciais de \cos e \sin e a propriedade multiplicativa da exponencial complexa. Essas igualdades são exatamente as fórmulas de adição para cosseno, válidas no plano complexo.

Resposta

\displaystyle \cos\bigl(z_{1}\pm z_{2}\bigr)=\cos z_{1}\cdot\cos z_{2}\mp \sin z_{1}\cdot\sin z_{2}

Exercícios relacionados