Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
k) \operatorname{sen} z=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+i \cos x \operatorname{senh} y

Passo 1

O enunciado pede para verificar a seguinte identidade para z\in\mathbb{C}:
\operatorname{sen} z=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+i \cos x \operatorname{senh} y,
onde implicitamente estamos escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
Informações relevantes dadas/assumidas:
  • z=x+iy com x,y reais (vou usar isso explicitamente).
  • As funções hiperbólicas serão usadas; as definições que vou usar são: \operatorname{cosh} y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},\qquad \operatorname{senh} y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.

Passo 2

Vou começar lembrando a definição de seno para argumentos complexos (fórmula baseada na exponencial complexa). Para qualquer w\in\mathbb{C},
\operatorname{sen} w=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}.
Explicação curta e intuitiva: essa é a extensão natural da identidade de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta para argumentos complexos; a fórmula acima vale para todos os w\in\mathbb{C}.

Passo 3

Substituo w=z=x+iy na fórmula exponencial. Primeiro calculo e^{iz}:
e^{iz}=e^{i(x+iy)}=e^{ix-y}=e^{-y}e^{ix}.
Aqui usei e^{a+b}=e^{a}e^{b} e reescrevi i(x+iy)=ix-y. Para e^{ix} uso a identidade de Euler (válida para x real):
e^{ix}=\cos x + i\operatorname{sen} x.
Portanto
e^{iz}=e^{-y}(\cos x + i\operatorname{sen} x).

Passo 4

Agora calculo e^{-iz} de modo análogo:
e^{-iz}=e^{-i(x+iy)}=e^{-ix+y}=e^{y}e^{-ix}.
E como e^{-ix}=\cos x - i\operatorname{sen} x, segue
e^{-iz}=e^{y}(\cos x - i\operatorname{sen} x).

Passo 5

Subtraio as duas exponenciais que aparecem na definição de \operatorname{sen}z:
e^{iz}-e^{-iz} = e^{-y}(\cos x + i\operatorname{sen} x) - e^{y}(\cos x - i\operatorname{sen} x).
Agrupando termos reais e imaginários:
e^{iz}-e^{-iz} = \bigl(e^{-y}-e^{y}\bigr)\cos x \;+\; i\bigl(e^{-y}+e^{y}\bigr)\operatorname{sen} x.

Passo 6

Divido por 2i conforme a definição de \operatorname{sen}z:
\operatorname{sen}z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = \frac{\bigl(e^{-y}-e^{y}\bigr)\cos x}{2i} \;+\; \frac{i\bigl(e^{-y}+e^{y}\bigr)\operatorname{sen} x}{2i}.
Simplifico o segundo termo porque \dfrac{i}{2i}=\dfrac{1}{2}:
\operatorname{sen}z= \frac{e^{-y}-e^{y}}{2i}\cos x \;+\; \frac{e^{-y}+e^{y}}{2}\operatorname{sen} x.

Passo 7

Uso as definições das funções hiperbólicas e manipulo o fator com i. Primeiro note que
\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}=\operatorname{cosh} y.
Para o outro coeficiente:
\frac{e^{-y}-e^{y}}{2i} = \frac{-(e^{y}-e^{-y})}{2i} = -\frac{\operatorname{senh} y}{i}.
E como 1/i=-i, tem-se -\dfrac{\operatorname{senh} y}{i} = -\operatorname{senh} y\cdot(-i)=i\operatorname{senh} y. Portanto
\frac{e^{-y}-e^{y}}{2i}=i\operatorname{senh} y.

Passo 8

Substituindo essas expressões na fórmula da etapa anterior:
\operatorname{sen}z = \bigl(i\operatorname{senh} y\bigr)\cos x + \operatorname{cosh} y\,\operatorname{sen} x.
Reordenando os termos (colocando a parte real primeiro) obtemos exatamente
\operatorname{sen}z = \operatorname{sen} x\,\operatorname{cosh} y + i\cos x\,\operatorname{senh} y.

Resposta

\operatorname{sen}z=\operatorname{sen} x\,\operatorname{cosh} y+i\cos x\,\operatorname{senh} y

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