Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
k)
k)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a seguinte identidade para
:
onde implicitamente estamos escrevendo
com
.
Informações relevantes dadas/assumidas:
Informações relevantes dadas/assumidas:
-
com reais (vou usar isso explicitamente). - As funções hiperbólicas serão usadas; as definições que vou usar são:
Passo 2
Vou começar lembrando a definição de seno para argumentos complexos (fórmula baseada na exponencial complexa). Para qualquer
,
Explicação curta e intuitiva: essa é a extensão natural da identidade de Euler
para argumentos complexos; a fórmula acima vale para todos os
.
Passo 3
Substituo
na fórmula exponencial. Primeiro calculo
:
Aqui usei
e reescrevi
. Para
uso a identidade de Euler (válida para
real):
Portanto
Passo 4
Agora calculo
de modo análogo:
E como
, segue
Passo 5
Subtraio as duas exponenciais que aparecem na definição de
:
Agrupando termos reais e imaginários:
Passo 6
Divido por
conforme a definição de
:
Simplifico o segundo termo porque
:
Passo 7
Uso as definições das funções hiperbólicas e manipulo o fator com
. Primeiro note que
Para o outro coeficiente:
E como
, tem-se
. Portanto
Passo 8
Substituindo essas expressões na fórmula da etapa anterior:
Reordenando os termos (colocando a parte real primeiro) obtemos exatamente