Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
m) \operatorname{senz} é inteira e (\operatorname{sen} z)^{\prime}=\cos z
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos duas coisas para todo z\in\mathbb{C}:
que \operatorname{sen}z é uma função inteira (ou seja, holomorfa em todo \mathbb{C});
que a derivada complexa de \operatorname{sen}z é \cos z, isto é (\operatorname{sen}z)^\prime=\cos z.
As informações relevantes são apenas que z (e eventuais z_1,z_2) pertencem a \mathbb{C}. Não há mais dados numéricos; o objetivo é provar as duas propriedades acima.
Passo 2
Vou definir \operatorname{sen}z pela sua série de potências (série de Taylor centrada em 0). A expansão bem conhecida é
Estas séries são as mesmas que aparecem na análise real, mas agora interpretadas para z\in\mathbb{C}. Vou trabalhar com a série de potências para provar inteireza e depois diferenciar termo a termo para obter a derivada.
Passo 3
Provar que a série de \operatorname{sen}z converge para todo z\in\mathbb{C} (ou seja, tem raio de convergência infinito). Considere os coeficientes
a_{2n+1}=(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!},\qquad a_{2n}=0.
Usarei o critério da raiz (ou argumento sobre fatoriais) para ver o raio de convergência R. Para a série \sum a_m z^m vale
\frac{1}{R}=\limsup_{m\to\infty}|a_m|^{1/m}.
Aqui, para os termos não nulos temos |a_{2n+1}|^{1/(2n+1)} = \big((2n+1)!\big)^{-1/(2n+1)}. É um fato elementar sobre fatoriais que
Assim \limsup_{m\to\infty}|a_m|^{1/m}=0, e segue que R=\infty. Uma outra maneira mais direta (sem usar limite superior) é olhar a razão entre termos sucessivos não nulos: para termos de potência ímpar
o que implica convergência absoluta da série para qualquer z. Em qualquer caso, a série converge para todo z, logo tem raio de convergência infinito.
Passo 4
Definição e conclusão parcial: como \operatorname{sen}z é representada por uma série de potências com raio de convergência infinito, essa série define uma função holomorfa em todo \mathbb{C}. Por definição, uma função holomorfa em todo \mathbb{C} é inteira. Portanto, \operatorname{sen}z é inteira.
(Comentário rápido e amistoso: foi por isso que, quando se aprende séries de Taylor em reais, dá para levar tudo direto para os complexos — as mesmas séries funcionam e, se o raio é infinito, a função é inteira.)
Passo 5
Sobre diferenciar a série termo a termo: há um teorema padrão para séries de potências que diz o seguinte — enunciado e ideia de porquê:
Enunciado: Se f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n tem raio de convergência R>0, então a série derivada \sum_{n=1}^\infty n a_n (z-z_0)^{n-1} também converge para |z-z_0|<R e define f^\prime(z). Ou seja, pode-se diferenciar termo a termo dentro do disco de convergência.
Ideia do porquê (explicação acessível): num disco fechado |z-z_0|\le r com r<R a série original converge uniformemente (pelo teste de Weierstrass usando uma série geométrica para dominar os termos). Convergência uniforme permite trocar soma e limite, e o limite das diferenças quociente (definição da derivada) com a soma resulta na soma das derivadas dos termos. Assim a diferenciação termo a termo é válida. Além disso, o raio de convergência da série derivada é o mesmo R.
Vou aplicar esse teorema com z_0=0 e R=\infty.
Passo 6
Diferenciação termo a termo da série de \operatorname{sen}z. Começo com
Mas essa série é exatamente a série de \cos z (ver Passo 2). Logo
(\operatorname{sen}z)^\prime=\cos z
para todo z\in\mathbb{C}.
Passo 7
Breve observação alternativa (útil para a prova): outra forma, equivalente e talvez mais curta, é usar a definição exponencial
\operatorname{sen}z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
Como a exponencial complexa e^w é inteira e a aplicação z\mapsto iz é inteira (linear), a combinação acima mostra imediatamente que \operatorname{sen}z é inteira. Diferenciando usando a regra da cadeia e linearidade:
obtendo o mesmo resultado. Esta via é mais direta se já se aceita que e^w é inteira e a regra da cadeia vale no complexo.
Passo 8
Resumo do que foi provado e incentivo: mostramos que a série de potências de \operatorname{sen}z converge em todo \mathbb{C}, logo \operatorname{sen}z é inteira, e que a diferenciação termo a termo transforma sua série na série de \cos z, portanto (\operatorname{sen}z)^\prime=\cos z. Segue tranquilo — essa é uma das propriedades mais úteis e frequentes em provas e exercícios.
Resposta
\operatorname{sen}z é inteira e (\operatorname{sen}z)^{\prime}=\cos z