Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
n) \cos z é inteira e (\cos z)^{\prime}=-\operatorname{sen} z
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, para z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}:
Mostrar que \cos z é inteira (isto é, holomorfa em todo \mathbb{C}).
Mostrar que (\cos z)^{\prime} = -\operatorname{sen} z.
Informações dadas / usadas: nenhum outro dado numérico — temos apenas a função \cos complexa a ser analisada. A resolução vai partir das séries de Taylor/Maclaurin clássicas de \cos e \sin.
Passo 2
Apresentar as séries de potências usuais (definição a ser usada).
As séries de potências para \cos e \operatorname{sen} são, para todo z\in\mathbb{C},
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}, \qquad \operatorname{sen} z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Essas são as expansões de Maclaurin (séries de Taylor centradas em 0) que aparecem já na análise real, mas valem para todo z\in\mathbb{C} quando vistas como séries de potências complexas.
Passo 3
Mostrar que a série de \cos z converge para todo z (radio de convergência infinito).
Considere os termos gerais da série de \cos z:
a_n(z)=(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}.
Use o teste da razão (ratio test) para verificar a convergência em n. Para n\ge 0,
Quando n\to\infty, a fração \dfrac{|z|^{2}}{(2n+2)(2n+1)}\to 0 para qualquer z fixo. Pelo teste da razão, a série converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C}. Logo o raio de convergência é infinito.
Passo 4
Concluir que \cos z é inteira usando a teoria de séries de potências.
Teorema (forma intuitiva usada aqui): uma série de potências centrada em 0 com raio de convergência R>0 define uma função holomorfa no disco |z|<R; se R=\infty então a função é holomorfa em todo \mathbb{C} (inteira). Como mostramos que a série de \cos z tem raio infinito, concluímos que \cos z é inteira.
Comentário pedagógico curto: “holomorfa” significa que em cada ponto existe derivada complexa; séries de potências convergentes definem funções diferenciáveis (e infinitamente diferenciáveis) no sentido complexo.
Passo 5
Explicar por que podemos derivar a série termo a termo.
Outra propriedade padrão de séries de potências: dentro do raio de convergência a série converge uniformemente em compactos, e a diferenciação termo a termo é permitida; a série derivada tem o mesmo raio de convergência. Intuitivamente: se uma série de potências converge bem (como aqui, absolutamente para todo z), então somar e derivar termo a termo é legítimo e produz a derivada da soma.
Passo 6
Derivar termo a termo a série de \cos z e comparar com a série de \operatorname{sen} z.
Partindo de
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!},
derivando termo a termo (a primeira soma tem termo constante n=0 que some na derivada) obtemos
Conclusão final e observações rápidas de reforço.
Juntando os pontos: a série de \cos z converge para todo z, definindo uma função holomorfa em \mathbb{C} (ou seja, inteira); e a diferenciação termo a termo da série dá exatamente -\operatorname{sen} z. Assim ambas as afirmações do enunciado estão demonstradas.
Força aí — essa é a prova mais direta e prática que costuma cair em provas: mostrar raio de convergência infinito e diferenciar a série termo a termo para identificar a derivada.
Resposta
\cos z é inteira e (\cos z)^{\prime}=-\operatorname{sen} z