Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
n) \cos z é inteira e (\cos z)^{\prime}=-\operatorname{sen} z

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, para z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}:
  • Mostrar que \cos z é inteira (isto é, holomorfa em todo \mathbb{C}).
  • Mostrar que (\cos z)^{\prime} = -\operatorname{sen} z.
Informações dadas / usadas: nenhum outro dado numérico — temos apenas a função \cos complexa a ser analisada. A resolução vai partir das séries de Taylor/Maclaurin clássicas de \cos e \sin.

Passo 2

Apresentar as séries de potências usuais (definição a ser usada).
As séries de potências para \cos e \operatorname{sen} são, para todo z\in\mathbb{C},
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}, \qquad \operatorname{sen} z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Essas são as expansões de Maclaurin (séries de Taylor centradas em 0) que aparecem já na análise real, mas valem para todo z\in\mathbb{C} quando vistas como séries de potências complexas.

Passo 3

Mostrar que a série de \cos z converge para todo z (radio de convergência infinito).
Considere os termos gerais da série de \cos z:
a_n(z)=(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}.
Use o teste da razão (ratio test) para verificar a convergência em n. Para n\ge 0,
\left|\frac{a_{n+1}(z)}{a_n(z)}\right| = \left|\frac{(-1)^{n+1} z^{2(n+1)}/(2n+2)!}{(-1)^n z^{2n}/(2n)!}\right| = \frac{|z|^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.
Quando n\to\infty, a fração \dfrac{|z|^{2}}{(2n+2)(2n+1)}\to 0 para qualquer z fixo. Pelo teste da razão, a série converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C}. Logo o raio de convergência é infinito.

Passo 4

Concluir que \cos z é inteira usando a teoria de séries de potências.
Teorema (forma intuitiva usada aqui): uma série de potências centrada em 0 com raio de convergência R>0 define uma função holomorfa no disco |z|<R; se R=\infty então a função é holomorfa em todo \mathbb{C} (inteira). Como mostramos que a série de \cos z tem raio infinito, concluímos que \cos z é inteira.
Comentário pedagógico curto: “holomorfa” significa que em cada ponto existe derivada complexa; séries de potências convergentes definem funções diferenciáveis (e infinitamente diferenciáveis) no sentido complexo.

Passo 5

Explicar por que podemos derivar a série termo a termo.
Outra propriedade padrão de séries de potências: dentro do raio de convergência a série converge uniformemente em compactos, e a diferenciação termo a termo é permitida; a série derivada tem o mesmo raio de convergência. Intuitivamente: se uma série de potências converge bem (como aqui, absolutamente para todo z), então somar e derivar termo a termo é legítimo e produz a derivada da soma.

Passo 6

Derivar termo a termo a série de \cos z e comparar com a série de \operatorname{sen} z.
Partindo de
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!},
derivando termo a termo (a primeira soma tem termo constante n=0 que some na derivada) obtemos
(\cos z)' = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2n\, z^{2n-1}}{(2n)!}.
Simplificando o fator \dfrac{2n}{(2n)!} temos \dfrac{2n}{(2n)!}=\dfrac{1}{(2n-1)!}. Assim
(\cos z)' = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Reindexando com m=n-1 (ou apenas observando a forma), isto é
(\cos z)' = \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^{m+1} \frac{z^{2m+1}}{(2m+1)!} = -\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^{m} \frac{z^{2m+1}}{(2m+1)!}.
Reconhecemos a série na direita como a série de \operatorname{sen} z. Portanto
(\cos z)' = -\,\operatorname{sen} z.
Para ver de forma bem concreta (cheia de familiaridade): escrevendo os primeiros termos,
\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots,
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(\cos z)' = 0 - \frac{2z}{2!} + \frac{4 z^3}{4!} - \cdots = -\left(z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots\right) = -\operatorname{sen} z.

Passo 7

Conclusão final e observações rápidas de reforço.
Juntando os pontos: a série de \cos z converge para todo z, definindo uma função holomorfa em \mathbb{C} (ou seja, inteira); e a diferenciação termo a termo da série dá exatamente -\operatorname{sen} z. Assim ambas as afirmações do enunciado estão demonstradas.
Força aí — essa é a prova mais direta e prática que costuma cair em provas: mostrar raio de convergência infinito e diferenciar a série termo a termo para identificar a derivada.

Resposta

\cos z é inteira e (\cos z)^{\prime}=-\operatorname{sen} z

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