Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
o)
o)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pedem para verificar (mostrar a equivalência) que
, com , para . - Informação dada:
é um número complexo arbitrário. - Objetivo dividido em duas partes: (i) mostrar que se
então ; (ii) mostrar que se com então .
Passo 2
Lembrando a definição complexa de seno e uma propriedade básica do exponencial.
- Definição (válida para números complexos):
Explicação rápida: essa é a extensão natural da fórmula de Eulerpara , que continua válida para argumentos complexos por meio da série de potências ou da própria exponencial complexa. - Propriedade do exponencial complexo que vamos usar: para
, Justificativa curta desta propriedade: escrevendo com , tem-se então ; e então implica . Portanto .
Passo 3
Provar a direção
.
- Começo assumindo
. Pela definição, - Multiplicando por
(podemos, pois ), obtemos - Reescrevendo, isto dá
- Aplicando a propriedade do exponencial do Passo 2 com
, concluímos que existe tal que - Dividindo ambos os lados por
(novamente permitido porque ), vem - Assim mostramos a direção desejada: se
então com .
Passo 4
Provar a direção
.
- Seja
com . Calculemos pela definição: - Note que
. Logo . Da mesma forma . Portanto o numerador fica - Assim
. Isso prova a direção contrária.
Passo 5
Conclusão final e comentário pedagógico.
- Reunindo os dois sentidos provados nos Passos 3 e 4, obtemos a equivalência desejada:
- Comentário amigo e útil para a prova: a chave é usar a fórmula exponencial do seno e a caracterização das soluções de
. Essas duas ferramentas resolvem a questão de maneira rápida e robusta para qualquer .