Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
o) \operatorname{sen} z=0 \Leftrightarrow z=k \pi, k \in \mathbb{Z}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pedem para verificar (mostrar a equivalência) que \operatorname{sen} z=0 \Leftrightarrow z=k\pi, com k\in\mathbb{Z}, para z\in\mathbb{C}.
  • Informação dada: z é um número complexo arbitrário.
  • Objetivo dividido em duas partes: (i) mostrar que se \operatorname{sen} z=0 então z=k\pi; (ii) mostrar que se z=k\pi com k\in\mathbb{Z} então \operatorname{sen} z=0.

Passo 2

Lembrando a definição complexa de seno e uma propriedade básica do exponencial.
  • Definição (válida para números complexos): \displaystyle \operatorname{sen} z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
    Explicação rápida: essa é a extensão natural da fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta para \theta\in\mathbb{R}, que continua válida para argumentos complexos por meio da série de potências ou da própria exponencial complexa.
  • Propriedade do exponencial complexo que vamos usar: para w\in\mathbb{C}, e^{w}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad w=2\pi i k \text{ para algum } k\in\mathbb{Z}.Justificativa curta desta propriedade: escrevendo w=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, tem-se |e^{w}|=e^{x}=1 então x=0; e então e^{w}=e^{iy}=1 implica y=2\pi k. Portanto w=2\pi i k.

Passo 3

Provar a direção \operatorname{sen} z=0 \Rightarrow z=k\pi.
  • Começo assumindo \operatorname{sen} z=0. Pela definição, \operatorname{sen} z=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0.
  • Multiplicando por 2i (podemos, pois 2i\neq0), obtemos e^{iz}-e^{-iz}=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{iz}=e^{-iz}.
  • Reescrevendo, isto dá e^{2iz}=1.
  • Aplicando a propriedade do exponencial do Passo 2 com w=2iz, concluímos que existe k\in\mathbb{Z} tal que 2iz=2\pi i k.
  • Dividindo ambos os lados por 2i (novamente permitido porque 2i\neq0), vem z = k\pi.
  • Assim mostramos a direção desejada: se \operatorname{sen} z=0 então z=k\pi com k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Provar a direção z=k\pi \Rightarrow \operatorname{sen} z=0.
  • Seja z=k\pi com k\in\mathbb{Z}. Calculemos \operatorname{sen} z pela definição: \operatorname{sen}(k\pi)=\frac{e^{i(k\pi)}-e^{-i(k\pi)}}{2i}=\frac{e^{i\pi k}-e^{-i\pi k}}{2i}.
  • Note que e^{i\pi}=-1. Logo e^{i\pi k}=(e^{i\pi})^{k}=(-1)^{k}. Da mesma forma e^{-i\pi k}=(-1)^{k}. Portanto o numerador fica e^{i\pi k}-e^{-i\pi k}=(-1)^{k}-(-1)^{k}=0.
  • Assim \operatorname{sen}(k\pi)=0. Isso prova a direção contrária.

Passo 5

Conclusão final e comentário pedagógico.
  • Reunindo os dois sentidos provados nos Passos 3 e 4, obtemos a equivalência desejada: \operatorname{sen} z=0 \iff z=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
  • Comentário amigo e útil para a prova: a chave é usar a fórmula exponencial do seno e a caracterização das soluções de e^{w}=1. Essas duas ferramentas resolvem a questão de maneira rápida e robusta para qualquer z\in\mathbb{C}.

Resposta

\displaystyle z=k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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