Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
p) \cos z=0 \Leftrightarrow z=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para z\in\mathbb{C}, temos a equivalência
\cos z=0 \iff z=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Informações relevantes dadas ou necessárias:
  • A variável z é complexa: z\in\mathbb{C}.
  • Deve ser provado que todos os zeros de \cos z são exatamente os pontos da forma \frac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\mathbb{Z}, e que esses pontos realmente anulam o cosseno.
  • Vou usar a representação exponencial da função cosseno e a propriedade periódica do exponencial complexo.

Passo 2

Lembrete útil e definição que vamos usar: para todo z\in\mathbb{C} vale a identidade exponencial (válida porque as séries de exponencial, seno e cosseno convergem para todo z):
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Explicando devagar: e^{w} para w\in\mathbb{C} é a função exponencial complexa e satisfaz que se e^{w_1}=e^{w_2} então w_1-w_2=2\pi i k para algum k\in\mathbb{Z} (isto é, o exponencial é 2\pi i-periódico). Essas duas ideias serão usadas para resolver a equação \cos z=0.

Passo 3

Primeira direção (necessidade): suponha que \cos z=0. Começamos substituindo a expressão exponencial:
\cos z=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0.
Multiplicando por 2 e rearranjando obtemos
e^{iz}+e^{-iz}=0.
Multiplicando por e^{iz} (nunca é zero) dá
e^{2iz}=-1.

Passo 4

Resolver a equação exponencial e^{2iz}=-1. Note que -1 pode ser escrito como e^{i\pi}, e adicionando os períodos do exponencial temos todas as representações de -1:
-1=e^{i\pi+2\pi i k},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Logo, da igualdade e^{2iz}=-1 segue que os expoentes diferem por múltiplos de 2\pi i, logo
2iz = i\pi + 2\pi i k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora isolamos z. Dividindo ambos os lados por 2i (observe que i\neq0):
z=\frac{i\pi+2\pi i k}{2i}=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isso mostra que se \cos z=0 então z tem a forma indicada.

Passo 5

Segunda direção (suficiência): verificar que toda z da forma \dfrac{\pi}{2}+k\pi anula \cos. Tome z=\dfrac{\pi}{2}+k\pi. Usando a forma exponencial:
\cos\!\biggl(\frac{\pi}{2}+k\pi\biggr) =\frac{e^{i(\frac{\pi}{2}+k\pi)}+e^{-i(\frac{\pi}{2}+k\pi)}}{2}.
Escrevendo e^{i k\pi}=(-1)^k obtemos
\cos\!\biggl(\frac{\pi}{2}+k\pi\biggr) =\frac{(-1)^k e^{i\frac{\pi}{2}}+(-1)^k e^{-i\frac{\pi}{2}}}{2} =(-1)^k\frac{e^{i\frac{\pi}{2}}+e^{-i\frac{\pi}{2}}}{2}.
Mas e^{i\frac{\pi}{2}}=i e e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i, portanto o numerador vale i+(-i)=0. Logo
\cos\!\biggl(\frac{\pi}{2}+k\pi\biggr)=0.
Assim, toda z da forma dada é, de fato, um zero de \cos.

Passo 6

Conclusão final: juntando os dois sentidos temos exatamente a descrição completa dos zeros de \cos z:
\cos z=0 \iff z=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Pequeno incentivo: repete mentalmente o argumento com a substituição u=e^{iz} (que leva a u^2=-1) — dá a mesma conclusão de forma rápida e ajuda na prova durante a prova real.

Resposta

\cos z=0 \Leftrightarrow z=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}

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