Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
p)
p)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
, temos a equivalência
Informações relevantes dadas ou necessárias:
- A variável
é complexa: . - Deve ser provado que todos os zeros de
são exatamente os pontos da forma , com , e que esses pontos realmente anulam o cosseno. - Vou usar a representação exponencial da função cosseno e a propriedade periódica do exponencial complexo.
Passo 2
Lembrete útil e definição que vamos usar: para todo
vale a identidade exponencial (válida porque as séries de exponencial, seno e cosseno convergem para todo
):
Explicando devagar:
para
é a função exponencial complexa e satisfaz que se
então
para algum
(isto é, o exponencial é
-periódico). Essas duas ideias serão usadas para resolver a equação
.
Passo 3
Primeira direção (necessidade): suponha que
. Começamos substituindo a expressão exponencial:
Multiplicando por
e rearranjando obtemos
Multiplicando por
(nunca é zero) dá
Passo 4
Resolver a equação exponencial
. Note que
pode ser escrito como
, e adicionando os períodos do exponencial temos todas as representações de
:
Logo, da igualdade
segue que os expoentes diferem por múltiplos de
, logo
Agora isolamos
. Dividindo ambos os lados por
(observe que
):
Isso mostra que se
então
tem a forma indicada.
Passo 5
Segunda direção (suficiência): verificar que toda
da forma
anula
. Tome
. Usando a forma exponencial:
Escrevendo
obtemos
Mas
e
, portanto o numerador vale
. Logo
Assim, toda
da forma dada é, de fato, um zero de
.
Passo 6
Conclusão final: juntando os dois sentidos temos exatamente a descrição completa dos zeros de
:
Pequeno incentivo: repete mentalmente o argumento com a substituição
(que leva a
) — dá a mesma conclusão de forma rápida e ajuda na prova durante a prova real.