Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
q)
q)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade para
As informações relevantes que vamos usar são:
- Tomar
com e , ambos reais. - Precisamos calcular
, separar em parte real e imaginária, e avaliar o módulo ao quadrado.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em termos de
e
. Usamos a definição exponencial da função seno complexa ou as fórmulas habituais de soma de ângulos estendidas a argumentos complexos. Uma maneira curta e direta é usar que, para
real,
Essas igualdades vêm de
Agora aplicamos a fórmula de soma de ângulos para seno (válida também em
):
Substituindo as expressões acima obtemos
ou seja
Dessa forma a parte real e imaginária de
são
Passo 3
O módulo ao quadrado de um número complexo
é dado por
Aplicando isso a
com as partes real e imaginária obtidas:
Expandindo:
Passo 4
Agora simplificamos usando
e a identidade hiperbólica básica
. Substituindo
e rearranjando:
Aqui usei explicitamente a identidade