Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
q) |\operatorname{sen} z|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade para z\in\mathbb{C}
|\operatorname{sen} z|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y.
As informações relevantes que vamos usar são:
  • Tomar z=x+iy com x=\Re z e y=\Im z, ambos reais.
  • Precisamos calcular \operatorname{sen} z, separar em parte real e imaginária, e avaliar o módulo ao quadrado.

Passo 2

Primeiro vamos escrever \operatorname{sen} z em termos de x e y. Usamos a definição exponencial da função seno complexa ou as fórmulas habituais de soma de ângulos estendidas a argumentos complexos. Uma maneira curta e direta é usar que, para y real,
\cos(iy)=\operatorname{cosh}y,\qquad \sin(iy)=i\,\operatorname{senh}y.
Essas igualdades vêm de
\cos(iy)=\frac{e^{i(iy)}+e^{-i(iy)}}{2}=\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}=\operatorname{cosh}y,
\sin(iy)=\frac{e^{i(iy)}-e^{-i(iy)}}{2i}=\frac{e^{-y}-e^{y}}{2i}=i\,\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}=i\,\operatorname{senh}y.
Agora aplicamos a fórmula de soma de ângulos para seno (válida também em \mathbb{C}):
\operatorname{sen}(x+iy)=\operatorname{sen}x\cos(iy)+\cos x\sin(iy).
Substituindo as expressões acima obtemos
\operatorname{sen}z=\operatorname{sen}x\,\operatorname{cosh}y+\cos x\,(i\,\operatorname{senh}y)
ou seja
\operatorname{sen}z=\operatorname{sen}x\,\operatorname{cosh}y + i\,\cos x\,\operatorname{senh}y.
Dessa forma a parte real e imaginária de \operatorname{sen}z são
\Re(\operatorname{sen}z)=\operatorname{sen}x\,\operatorname{cosh}y,\qquad \Im(\operatorname{sen}z)=\cos x\,\operatorname{senh}y.

Passo 3

O módulo ao quadrado de um número complexo w é dado por
|w|^{2}=(\Re w)^{2}+(\Im w)^{2}.
Aplicando isso a w=\operatorname{sen}z com as partes real e imaginária obtidas:
|\operatorname{sen}z|^{2}=(\operatorname{sen}x\,\operatorname{cosh}y)^{2}+(\cos x\,\operatorname{senh}y)^{2}.
Expandindo:
|\operatorname{sen}z|^{2}=\operatorname{sen}^{2}x\,\operatorname{cosh}^{2}y+\cos^{2}x\,\operatorname{senh}^{2}y.

Passo 4

Agora simplificamos usando \cos^{2}x=1-\operatorname{sen}^{2}x e a identidade hiperbólica básica \operatorname{cosh}^{2}y-\operatorname{senh}^{2}y=1. Substituindo \cos^{2}x e rearranjando:
\begin{aligned} |\operatorname{sen}z|^{2} &=\operatorname{sen}^{2}x\,\operatorname{cosh}^{2}y+(1-\operatorname{sen}^{2}x)\,\operatorname{senh}^{2}y\\[4pt] &=\operatorname{sen}^{2}x\big(\operatorname{cosh}^{2}y-\operatorname{senh}^{2}y\big)+\operatorname{senh}^{2}y\\[4pt] &=\operatorname{sen}^{2}x\cdot 1+\operatorname{senh}^{2}y\\[4pt] &=\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{senh}^{2}y. \end{aligned}
Aqui usei explicitamente a identidade
\operatorname{cosh}^{2}y-\operatorname{senh}^{2}y= \left(\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\right)^{2}=1.]

Resposta

|\operatorname{sen} z|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y

Exercícios relacionados