Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
\cos z=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-z\right);

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se verificar a igualdade \cos z=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-z\right) para todo z\in\mathbb{C}.
  • Informação dada: z é um número complexo arbitrário; não há outras restrições.

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
  • Definição exponencial das funções trigonométricas (válida para z\in\mathbb{C} graças às séries de potência): \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad \sin w = \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}.Aqui e^{u} é a função exponencial complexa definida pela série \displaystyle e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}, e essas fórmulas resultam de combinar as séries de e^{iz}, e^{-iz} e rearranjar termos. As letras z e w representam números complexos quaisquer; na nossa prova usaremos w=\dfrac{\pi}{2}-z.
  • Um fato simples e útil: usando a fórmula de Euler para ângulos reais, e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,temos em particular e^{i\pi/2}=i \qquad\text{e}\qquad e^{-i\pi/2}=-i,porque \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1. Esses valores também valem no contexto complexo porque \pi/2 é real.

Passo 3

Aplicar a definição de \sin ao argumento \dfrac{\pi}{2}-z.
Calculemos diretamente \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-z\right) usando a fórmula exponencial:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{e^{\,i(\pi/2 - z)}-e^{-\,i(\pi/2 - z)}}{2i}.

Passo 4

Manipular exponenciais e usar e^{i\pi/2}=i, e^{-i\pi/2}=-i.
Reescrevendo os termos:
e^{\,i(\pi/2 - z)}=e^{i\pi/2}\,e^{-iz}=i\,e^{-iz},
e^{-\,i(\pi/2 - z)}=e^{-i\pi/2}\,e^{iz}=-i\,e^{iz}.
Substituindo na expressão de \sin:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{i\,e^{-iz}-(-i)\,e^{iz}}{2i} = \frac{i\bigl(e^{-iz}+e^{iz}\bigr)}{2i}.

Passo 5

Simplificar e obter \cos z.
No último quociente o fator i no numerador cancela com o i do denominador:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Pelo item das definições, a expressão à direita é exatamente \cos z. Portanto chegamos à identidade desejada:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\cos z.

Resposta

\cos z=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-z\right)

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