Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se verificar a igualdade
para todo . - Informação dada:
é um número complexo arbitrário; não há outras restrições.
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
- Definição exponencial das funções trigonométricas (válida para
graças às séries de potência): Aqui é a função exponencial complexa definida pela série , e essas fórmulas resultam de combinar as séries de , e rearranjar termos. As letras e representam números complexos quaisquer; na nossa prova usaremos . - Um fato simples e útil: usando a fórmula de Euler para ângulos reais,
temos em particular porque e . Esses valores também valem no contexto complexo porque é real.
Passo 3
Aplicar a definição de
ao argumento
.
Calculemos diretamente
usando a fórmula exponencial:
Passo 4
Manipular exponenciais e usar
,
.
Reescrevendo os termos:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Simplificar e obter
.
No último quociente o fator
no numerador cancela com o
do denominador:
Pelo item das definições, a expressão à direita é exatamente
. Portanto chegamos à identidade desejada: