Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
\quad \operatorname{sen} z=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+i \cos x \operatorname{senh} y;

Passo 1

O enunciado pede que se verifique a identidade para z\in\mathbb{C}:
\operatorname{sen} z = \operatorname{sen} x \,\operatorname{cosh} y + \mathrm{i}\,\cos x \,\operatorname{senh} y.
Informações dadas e convenções que usarei (tudo tirado do enunciado ou padrão):
  • z\in\mathbb{C} e escreveremos z=x+\mathrm{i}y com x,y\in\mathbb{R}.
  • A identidade a verificar envolve funções trigonométricas reais ( \operatorname{sen},\cos) avaliadas em x e funções hiperbólicas ( \operatorname{cosh},\operatorname{senh}) avaliadas em y.
  • Não há outros dados numéricos nem figuras; a tarefa é mostrar a igualdade algébrica.

Passo 2

Vou lembrar definições e fórmulas que são ferramentas padrão (explicadas de forma direta e intuitiva):
  • Definição exponencial do seno complexa:
\operatorname{sen} w = \frac{e^{\mathrm{i}w}-e^{-\mathrm{i}w}}{2\mathrm{i}},
válida para qualquer w\in\mathbb{C}. Aqui \mathrm{i} é a unidade imaginária ( \mathrm{i}^2=-1).
  • Fórmula de Euler (para ângulos reais t):
e^{\mathrm{i}t}=\cos t+\mathrm{i}\,\operatorname{sen} t, \qquad e^{-\mathrm{i}t}=\cos t-\mathrm{i}\,\operatorname{sen} t.
Essas expressam exponenciais complexas em termos de cosseno e seno reais.
  • Definições das funções hiperbólicas (para y\in\mathbb{R}):
\operatorname{cosh} y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}, \qquad \operatorname{senh} y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
Essas são análogas às funções trigonométricas, mas com exponenciais reais.

Passo 3

Aplicar a definição do seno complexa ao nosso z=x+\mathrm{i}y. Primeiro calculemos e^{\mathrm{i}z} e e^{-\mathrm{i}z}. Note que
\mathrm{i}z=\mathrm{i}(x+\mathrm{i}y)=\mathrm{i}x+\mathrm{i}^2 y=\mathrm{i}x-y,
portanto
e^{\mathrm{i}z}=e^{\mathrm{i}x-y}=e^{-y}\,e^{\mathrm{i}x}.
Usando Euler para e^{\mathrm{i}x} obtemos
e^{\mathrm{i}z}=e^{-y}\big(\cos x+\mathrm{i}\,\operatorname{sen} x\big).
De forma análoga,
-\mathrm{i}z=-\mathrm{i}x+y, \qquad e^{-\mathrm{i}z}=e^{y}\,e^{-\mathrm{i}x}=e^{y}\big(\cos x-\mathrm{i}\,\operatorname{sen} x\big).

Passo 4

Agora formamos a combinação da definição do seno:
e^{\mathrm{i}z}-e^{-\mathrm{i}z} = e^{-y}\big(\cos x+\mathrm{i}\,\operatorname{sen} x\big) - e^{y}\big(\cos x-\mathrm{i}\,\operatorname{sen} x\big).
Agrupando termos com \cos x e com \operatorname{sen} x:
e^{\mathrm{i}z}-e^{-\mathrm{i}z} = \cos x\,(e^{-y}-e^{y}) + \mathrm{i}\,\operatorname{sen} x\,(e^{-y}+e^{y}).

Passo 5

Usamos as definições das funções hiperbólicas para simplificar as combinações exponenciais:
e^{y}+e^{-y}=2\operatorname{cosh} y, \qquad e^{y}-e^{-y}=2\operatorname{senh} y.
Observe que e^{-y}-e^{y}=-(e^{y}-e^{-y})=-2\operatorname{senh} y. Substituindo em e^{\mathrm{i}z}-e^{-\mathrm{i}z} dá:
e^{\mathrm{i}z}-e^{-\mathrm{i}z} = \cos x\big(-2\operatorname{senh} y\big) + \mathrm{i}\,\operatorname{sen} x\big(2\operatorname{cosh} y\big) = 2\big(\mathrm{i}\,\operatorname{sen} x\operatorname{cosh} y - \cos x\,\operatorname{senh} y\big).

Passo 6

Agora dividimos por 2\mathrm{i} conforme a definição de \operatorname{sen} z:
\operatorname{sen} z = \frac{e^{\mathrm{i}z}-e^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}} = \frac{2\big(\mathrm{i}\,\operatorname{sen} x\operatorname{cosh} y - \cos x\,\operatorname{senh} y\big)}{2\mathrm{i}}.
Cancelando o 2 e separando os termos:
\operatorname{sen} z = \frac{\mathrm{i}\,\operatorname{sen} x\operatorname{cosh} y}{\mathrm{i}} - \frac{\cos x\,\operatorname{senh} y}{\mathrm{i}}.
Como \dfrac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=1 e \dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}, o segundo termo fica
- \frac{\cos x\,\operatorname{senh} y}{\mathrm{i}} = -\cos x\,\operatorname{senh} y\cdot(-\mathrm{i}) = \mathrm{i}\,\cos x\,\operatorname{senh} y.
Portanto
\operatorname{sen} z = \operatorname{sen} x\,\operatorname{cosh} y + \mathrm{i}\,\cos x\,\operatorname{senh} y,
que é exatamente a identidade pedida.

Resposta

\operatorname{sen} z=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+\mathrm{i}\cos x \operatorname{senh} y

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