Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
;
Passo 1
O enunciado pede que se verifique a identidade para
:
Informações dadas e convenções que usarei (tudo tirado do enunciado ou padrão):
-
e escreveremos com . - A identidade a verificar envolve funções trigonométricas reais (
) avaliadas em e funções hiperbólicas ( ) avaliadas em . - Não há outros dados numéricos nem figuras; a tarefa é mostrar a igualdade algébrica.
Passo 2
Vou lembrar definições e fórmulas que são ferramentas padrão (explicadas de forma direta e intuitiva):
- Definição exponencial do seno complexa:
válida para qualquer
. Aqui
é a unidade imaginária (
).
- Fórmula de Euler (para ângulos reais
):
Essas expressam exponenciais complexas em termos de cosseno e seno reais.
- Definições das funções hiperbólicas (para
):
Essas são análogas às funções trigonométricas, mas com exponenciais reais.
Passo 3
Aplicar a definição do seno complexa ao nosso
. Primeiro calculemos
e
. Note que
portanto
Usando Euler para
obtemos
De forma análoga,
Passo 4
Agora formamos a combinação da definição do seno:
Agrupando termos com
e com
:
Passo 5
Usamos as definições das funções hiperbólicas para simplificar as combinações exponenciais:
Observe que
. Substituindo em
dá:
Passo 6
Agora dividimos por
conforme a definição de
:
Cancelando o
e separando os termos:
Como
e
, o segundo termo fica
Portanto
que é exatamente a identidade pedida.