Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
\cos \left(z_{1} \pm z_{2}\right)=\cos z_{1} \cdot \cos z_{2} \mp \operatorname{sen} z_{1} \cdot \operatorname{sen} z_{2};

Passo 1

O enunciado pede para verificar, para quaisquer z, z_{1}, z_{2}\in\mathbb{C}, a identidade
\cos\left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\cos z_{1}\cdot\cos z_{2}\mp \operatorname{sen} z_{1}\cdot\operatorname{sen} z_{2}.
Informações dadas:
  • z, z_{1}, z_{2} são números complexos.
  • Deve ser verificada a igualdade tanto no caso do sinal + quanto no do sinal -.

Passo 2

Vou lembrar as definições de \cos e \operatorname{sen} estendidas ao plano complexo (definições que valem para reais e continuam a valer para complexos via séries/exponencial):
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad \operatorname{sen} z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},
onde e^{w} é a exponencial complexa e i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1). Essas fórmulas vêm das séries de Taylor de \cos, \sin e e^{w}; aqui usaremos-as como ponto de partida porque tornam as manipulações algébricas diretas.

Passo 3

Calcular diretamente \cos(z_{1}+z_{2}) usando a definição exponencial:
\cos(z_{1}+z_{2})=\frac{e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}}{2} =\frac{e^{iz_{1}}e^{iz_{2}}+e^{-iz_{1}}e^{-iz_{2}}}{2}.
Este é o lado esquerdo que queremos obter a partir do lado direito. Vamos agora trabalhar o lado direito e mostrar que dá exatamente essa expressão.

Passo 4

Calcular \cos z_{1}\cdot\cos z_{2}-\operatorname{sen} z_{1}\cdot\operatorname{sen} z_{2} substituindo as definições exponenciais.
Primeiro:
\cos z_{1}\cdot\cos z_{2} =\frac{e^{iz_{1}}+e^{-iz_{1}}}{2}\cdot\frac{e^{iz_{2}}+e^{-iz_{2}}}{2} =\frac{1}{4}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{i z_{1}-i z_{2}}+e^{-i z_{1}+i z_{2}}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr).
Segundo:
\operatorname{sen} z_{1}\cdot\operatorname{sen} z_{2} =\frac{e^{iz_{1}}-e^{-iz_{1}}}{2i}\cdot\frac{e^{iz_{2}}-e^{-iz_{2}}}{2i} =\frac{1}{4i^{2}}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}-e^{i z_{1}-i z_{2}}-e^{-i z_{1}+i z_{2}}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr).
Como i^{2}=-1, temos 1/(4i^{2})=-1/4. Então
\operatorname{sen} z_{1}\cdot\operatorname{sen} z_{2} =-\frac{1}{4}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}-e^{i z_{1}-i z_{2}}-e^{-i z_{1}+i z_{2}}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr).
Agora subtrair esse termo do termo de \cos z_{1}\cos z_{2}:
\begin{aligned} \cos z_{1}\cos z_{2}-\operatorname{sen} z_{1}\operatorname{sen} z_{2} &=\frac{1}{4}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{i z_{1}-i z_{2}}+e^{-i z_{1}+i z_{2}}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr)\\\ &\quad -\Bigl(-\frac{1}{4}\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})}-e^{i z_{1}-i z_{2}}-e^{-i z_{1}+i z_{2}}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr)\Bigr)\\\ &=\frac{1}{4}\bigl(2e^{i(z_{1}+z_{2})}+2e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr)\\\ &=\frac{e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}}{2}\\\ &=\cos(z_{1}+z_{2}). \end{aligned}
No passo de combinação os termos e^{i z_{1}-i z_{2}} e e^{-i z_{1}+i z_{2}} se cancelam, deixando apenas os termos e^{\pm i(z_{1}+z_{2})}, que dão exatamente \cos(z_{1}+z_{2}).

Passo 5

Agora deduzir a fórmula para o sinal negativo. Observação útil (paridade das funções):
\cos(-w)=\frac{e^{-iw}+e^{iw}}{2}=\cos w, \qquad \operatorname{sen}(-w)=\frac{e^{-iw}-e^{iw}}{2i}=-\operatorname{sen} w.
Usando isso, aplique o caso já demonstrado com z_{2} substituído por -z_{2}:
\cos(z_{1}-z_{2})=\cos\bigl(z_{1}+(-z_{2})\bigr) =\cos z_{1}\cos(-z_{2})-\operatorname{sen} z_{1}\operatorname{sen}(-z_{2}).
Substituindo \cos(-z_{2})=\cos z_{2} e \operatorname{sen}(-z_{2})=-\operatorname{sen} z_{2}, obtemos
\cos(z_{1}-z_{2})=\cos z_{1}\cos z_{2}+\operatorname{sen} z_{1}\operatorname{sen} z_{2},
ou seja, o sinal na segunda parcela troca conforme a regra \pm \leftrightarrow \mp.

Passo 6

Concluímos que, para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C},
\cos\left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\cos z_{1}\cdot\cos z_{2}\mp \operatorname{sen} z_{1}\cdot\operatorname{sen} z_{2}.
Isso completa a verificação da identidade para ambos os sinais.

Resposta

\cos\left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\cos z_{1}\cdot\cos z_{2}\mp \operatorname{sen} z_{1}\cdot\operatorname{sen} z_{2}

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