Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar, para quaisquer
, a identidade
Informações dadas:
-
são números complexos. - Deve ser verificada a igualdade tanto no caso do sinal
quanto no do sinal .
Passo 2
Vou lembrar as definições de
e
estendidas ao plano complexo (definições que valem para reais e continuam a valer para complexos via séries/exponencial):
onde
é a exponencial complexa e
é a unidade imaginária (
). Essas fórmulas vêm das séries de Taylor de
,
e
; aqui usaremos-as como ponto de partida porque tornam as manipulações algébricas diretas.
Passo 3
Calcular diretamente
usando a definição exponencial:
Este é o lado esquerdo que queremos obter a partir do lado direito. Vamos agora trabalhar o lado direito e mostrar que dá exatamente essa expressão.
Passo 4
Calcular
substituindo as definições exponenciais.
Primeiro:
Segundo:
Como
, temos
. Então
Agora subtrair esse termo do termo de
:
No passo de combinação os termos
e
se cancelam, deixando apenas os termos
, que dão exatamente
.
Passo 5
Agora deduzir a fórmula para o sinal negativo. Observação útil (paridade das funções):
Usando isso, aplique o caso já demonstrado com
substituído por
:
Substituindo
e
, obtemos
ou seja, o sinal na segunda parcela troca conforme a regra
.
Passo 6
Concluímos que, para quaisquer
,
Isso completa a verificação da identidade para ambos os sinais.