Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
- É dada uma função trigonométrica complexa
com . - Podemos escrever
na forma , onde . - O enunciado pede para verificar a identidade
- Informações relevantes fornecidas: a variável
é complexa e será separada em parte real e parte imaginária .
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e didáticas):
- Definição de cosseno complexa via exponenciais (válida para
):
Explanação: essa é a extensão natural da definição de cosseno usando as exponenciais complexas; funciona tanto para argumentos reais quanto complexos.
- Fórmula de Euler (para
):
Explanação: relaciona exponencial complexa com funções trigonométricas para argumentos reais. Também usaremos a forma conjugada
- Funções hiperbólicas (definições em termos de exponenciais, para
):
Explanação:
e
são análogas de
e
, mas definidas a partir de exponenciais reais.
Observação didática: a estratégia natural é escrever
pela definição exponencial e então substituir
, usar propriedades de exponenciais e as definições de
e
.
Passo 3
Escrever
e calcular
e
:
- Escrevendo
com . - Calcular
:
- Calcular
:
Explicação: aqui usamos
e reorganizamos em parte real + i vezes parte imaginária para facilitar a exponenciação.
Passo 4
Calcular
e
separando fatores reais e complexos:
- Usando
, tem-se
- Usando
, tem-se
Explicação: propriedade básica das exponenciais
vale também para complexos; assim fatoramos a parte real exponencial
e a parte pura imaginária
.
Passo 5
Expandir
e
por Euler e substituir nas expressões:
- Pela fórmula de Euler,
- Portanto
Passo 6
Aplicar a definição de
como média das exponenciais e somar as expressões anteriores:
- Pela definição,
- Substituindo
e :
Explicação: agora vamos agrupar termos que contêm
e
.
Passo 7
Agrupar termos e usar as definições hiperbólicas:
- Agrupando as partes com
:
- Agrupando as partes com
:
- Assim
Nota: reordenei
para ficar na forma usual de
.
Passo 8
Reconhecer as definições de
e
e simplificar:
- Pela definição,
- Observe que
. - Substituindo na expressão de
:
- Finalmente:
Passo 9
Verificações rápidas (sanidade e exemplos para fixar):
- Se
(ou seja real), então , e a fórmula dá
o que bate com o caso real esperado.
- Se
(ou seja puro imaginário), então , e a fórmula dá
o que coincide com a identidade clássica
.