Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
\cos z=\cos x \cdot \operatorname{cosh} y-i \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{senh} y;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • É dada uma função trigonométrica complexa \cos z com z\in\mathbb{C}.
  • Podemos escrever z na forma z=x+iy, onde x,y\in\mathbb{R}.
  • O enunciado pede para verificar a identidade
\cos z=\cos x\cdot\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\cdot\operatorname{sinh} y.
  • Informações relevantes fornecidas: a variável z é complexa e será separada em parte real x e parte imaginária y.

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e didáticas):
  • Definição de cosseno complexa via exponenciais (válida para w\in\mathbb{C}):
\cos w=\frac{e^{i w}+e^{-i w}}{2}.
Explanação: essa é a extensão natural da definição de cosseno usando as exponenciais complexas; funciona tanto para argumentos reais quanto complexos.
  • Fórmula de Euler (para t\in\mathbb{R}):
e^{i t}=\cos t + i\,\sin t.
Explanação: relaciona exponencial complexa com funções trigonométricas para argumentos reais. Também usaremos a forma conjugada
e^{-i t}=\cos t - i\,\sin t.
  • Funções hiperbólicas (definições em termos de exponenciais, para u\in\mathbb{R}):
\operatorname{cosh} u=\frac{e^{u}+e^{-u}}{2},\qquad \operatorname{sinh} u=\frac{e^{u}-e^{-u}}{2}.
Explanação: \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} são análogas de \cos e \sin, mas definidas a partir de exponenciais reais.
Observação didática: a estratégia natural é escrever \cos z pela definição exponencial e então substituir z=x+iy, usar propriedades de exponenciais e as definições de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}.

Passo 3

Escrever z e calcular i z e -i z:
  • Escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • Calcular i z:
i z = i(x+iy)=i x + i^2 y = i x - y = -y + i x.
  • Calcular -i z:
- i z = -i(x+iy) = -i x - i^2 y = -i x + y = y - i x.
Explicação: aqui usamos i^2=-1 e reorganizamos em parte real + i vezes parte imaginária para facilitar a exponenciação.

Passo 4

Calcular e^{i z} e e^{-i z} separando fatores reais e complexos:
  • Usando i z = -y + i x, tem-se
e^{i z} = e^{-y + i x} = e^{-y}\,e^{i x}.
  • Usando -i z = y - i x, tem-se
e^{-i z} = e^{y - i x} = e^{y}\,e^{-i x}.
Explicação: propriedade básica das exponenciais e^{a+b}=e^a e^b vale também para complexos; assim fatoramos a parte real exponencial e^{\pm y} e a parte pura imaginária e^{\pm i x}.

Passo 5

Expandir e^{i x} e e^{-i x} por Euler e substituir nas expressões:
  • Pela fórmula de Euler,
e^{i x}=\cos x + i\,\sin x, \qquad e^{-i x}=\cos x - i\,\sin x.
  • Portanto
e^{i z}=e^{-y}(\cos x + i\,\sin x), \qquad e^{-i z}=e^{y}(\cos x - i\,\sin x).

Passo 6

Aplicar a definição de \cos z como média das exponenciais e somar as expressões anteriores:
  • Pela definição,
\cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}.
  • Substituindo e^{i z} e e^{-i z}:
\cos z=\frac{e^{-y}(\cos x + i\,\sin x) + e^{y}(\cos x - i\,\sin x)}{2}.
Explicação: agora vamos agrupar termos que contêm \cos x e \sin x.

Passo 7

Agrupar termos e usar as definições hiperbólicas:
  • Agrupando as partes com \cos x:
\cos x\cdot\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}.
  • Agrupando as partes com i\,\sin x:
i\,\sin x\cdot\frac{e^{-y}-e^{y}}{2}.
  • Assim
\cos z=\cos x\cdot\frac{e^{y}+e^{-y}}{2} + i\,\sin x\cdot\frac{e^{-y}-e^{y}}{2}.
Nota: reordenei e^{y}+e^{-y} para ficar na forma usual de \operatorname{cosh}.

Passo 8

Reconhecer as definições de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} e simplificar:
  • Pela definição,
\operatorname{cosh} y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},\qquad \operatorname{sinh} y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
  • Observe que \dfrac{e^{-y}-e^{y}}{2}=-\operatorname{sinh} y.
  • Substituindo na expressão de \cos z:
\cos z=\cos x\cdot\operatorname{cosh} y + i\,\sin x\cdot\biggl(-\operatorname{sinh} y\biggr).
  • Finalmente:
\cos z=\cos x\cdot\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\cdot\operatorname{sinh} y.

Passo 9

Verificações rápidas (sanidade e exemplos para fixar):
  • Se y=0 (ou seja z=x real), então \operatorname{cosh} 0=1, \operatorname{sinh} 0=0 e a fórmula dá
\cos z=\cos x\cdot 1 - i\,\sin x\cdot 0 = \cos x,
o que bate com o caso real esperado.
  • Se x=0 (ou seja z=iy puro imaginário), então \cos 0=1, \sin 0=0 e a fórmula dá
\cos(iy)=1\cdot\operatorname{cosh} y - i\cdot 0 \cdot\operatorname{sinh} y = \operatorname{cosh} y,
o que coincide com a identidade clássica \cos(iy)=\operatorname{cosh} y.

Resposta

\cos z=\cos x\cdot\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\cdot\operatorname{sinh} y

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