Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ): \operatorname{sen} z é inteira e (\operatorname{sen} z)^{\prime}=\cos z;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
O enunciado pede que verifiquemos duas coisas para todo z\in\mathbb{C}:
que \sin z é inteira;
que (\sin z)^{\prime}=\cos z.
Informação dada: z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} (ou seja, estamos trabalhando no plano complexo).
Em resumo: preciso mostrar que \sin z é holomorfa em todo \mathbb{C} (isso é o mesmo que “inteira”) e, além disso, mostrar explicitamente que a derivada complexa de \sin z é \cos z.
Passo 2
Apresentar a série de potências de \sin z (a ferramenta principal).
Vamos usar a expansão em série de Taylor centrada em 0 para \sin z. A série é
Esta série é a mesma que a usada na análise real, mas agora tratada como série de potências em z\in\mathbb{C}. A ideia é estudar convergência dessa série no complexo e então usar propriedades de séries de potências.
Passo 3
Mostrar convergência absoluta da série para todo z\in\mathbb{C} (raio de convergência infinito).
Pegue um z\in\mathbb{C} fixo e considere o termo geral em módulo:
Quando n\to\infty essa razão tende a 0 (porque o denominador cresce como n^{2}), logo a razão é menor que 1 para n suficientemente grande. Assim a série converge absolutamente para qualquer z\in\mathbb{C}.
Conclusão imediata: o raio de convergência da série é infinito; a série converge em todo \mathbb{C}.
Passo 4
Definir “inteira” e concluir que \sin z é inteira a partir da série.
Definição curta e amigável: uma função é inteira quando é holomorfa em todo \mathbb{C}, isto é, tem derivada complexa em todo ponto do plano.
Teorema (fato conhecido e útil): uma série de potências com raio de convergência +\infty define uma função analítica (holomorfa) em todo \mathbb{C}.
Como a série da \sin z tem raio de convergência infinito (Passo 3), a função dada por essa soma é holomorfa em todo \mathbb{C}. Portanto \sin z é inteira.
Passo 5
Justificar uniformidade necessária para diferenciar termo a termo (intuição e técnica).
Para poder derivar a série termo a termo e trocar soma com derivação precisamos de uma justificativa: a convergência da série é uniforme em discos compactos do plano (isso garante que podemos derivar termo a termo).
Para um disco compacto \{z:|z|\le R\} fixo, os termos da série satisfazem
A série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{R^{2n+1}}{(2n+1)!} é convergente (é a série numérica do tipo exponencial/fatorial). Pelo teste de Weierstrass (M-test), a série da \sin z converge uniformemente em \{z:|z|\le R\}.
Como R>0 é arbitrário, a série converge uniformemente em qualquer compacto do plano. Esse é o tipo de convergência que permite a diferenciação termo a termo.
Passo 6
Apresentar o teorema que permite derivar série de potências termo a termo.
Teorema (forma útil): se uma série de potências \sum_{n} a_{n} z^{n} tem raio de convergência >0, então dentro desse raio a soma pode ser diferenciada termo a termo e a série derivada tem o mesmo raio de convergência. Mais forte: se a série converge uniformemente em compactos, a derivação termo a termo é válida nesses compactos.
Aplicamos esse teorema à série da \sin z: como o raio é infinito e a convergência é uniforme em compactos, podemos diferenciar termo a termo para obter a derivada de \sin z.
Passo 7
Derivar a série termo a termo e simplificar para obter \cos z.
Resumo final, conexão com intuição e encorajamento.
Resumindo: a expansão em série de potências de \sin z converge absolutamente para todo z, define uma função holomorfa em todo \mathbb{C} (logo \sin z é inteira) e pode ser diferenciada termo a termo, que dá exatamente a série de \cos z. Assim (\sin z)^{\prime}=\cos z em todo o plano complexo.
Um comentário amigo: essa prova via séries é a forma mais direta e prática em provas e exames — memoriza a série de \sin e \cos, mostra convergência global (fatorial ajuda muito) e deriva termo a termo. Vai dar certo na prova, tu consegue!