Verifique se as seguintes sequências de números reais convergem ou divergem.
an=raiz[5]n+2-raiz[5]n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a sequência an = raiz[5]n+2 - raiz[5]n converge ou diverge. A gente vai usar conceitos de limites de sequências para resolver isso. Basicamente, vamos descobrir o que acontece com an quando n fica muito grande. Se ela se aproxima de um número específico, dizemos que converge; se não, diz que diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a sequência está fazendo. Ela pega a raiz quinta de n+2 e subtrai a raiz quinta de n . À medida que n cresce, tanto raiz[5]n+2 quanto raiz[5]n aumentam, mas queremos saber qual é a diferença entre elas quando n é gigante.

Passo 3

Para descobrir o limite de an quando n tende ao infinito, vamos simplificar a expressão. Uma técnica útil é usar a expansão da raiz para grandes valores de n . Podemos aproximar raiz[5]n+2 usando uma expansão de primeiro termo:
raiz[5]n+2 approx raiz[5]n (1 + 2n)^1/5
Para n muito grande, 2n é bem pequeno. Utilizando o binômio de Newton para aproximações, temos:
(1 + 2n)^1/5 approx 1 + 25n
Assim,
raiz[5]n+2 approx raiz[5]n (1 + 25n) = raiz[5]n + 25n^4/5

Passo 4

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão de an :
an = raiz[5]n+2 - raiz[5]n approx (raiz[5]n + 25n^4/5) - raiz[5]n = 25n^4/5

Passo 5

Agora, queremos encontrar o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty an = limn to infty 25n^4/5
À medida que n cresce, n^4/5 também cresce sem limites, então 25n^4/5 se aproxima de 0.

Resposta

A sequência an = raiz[5]n+2 - raiz[5]n converge para 0 quando n tende ao infinito.

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