Verifique se as seguintes sequências de números reais convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a sequência
converge ou diverge. A gente vai usar conceitos de limites de sequências para resolver isso. Basicamente, vamos descobrir o que acontece com
quando
fica muito grande. Se ela se aproxima de um número específico, dizemos que converge; se não, diz que diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a sequência está fazendo. Ela pega a raiz quinta de
e subtrai a raiz quinta de
. À medida que
cresce, tanto
quanto
aumentam, mas queremos saber qual é a diferença entre elas quando
é gigante.
Passo 3
Para descobrir o limite de
quando
tende ao infinito, vamos simplificar a expressão. Uma técnica útil é usar a expansão da raiz para grandes valores de
. Podemos aproximar
usando uma expansão de primeiro termo:
Para
muito grande,
é bem pequeno. Utilizando o binômio de Newton para aproximações, temos:
Assim,
Passo 4
Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão de
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito:
À medida que
cresce,
também cresce sem limites, então
se aproxima de 0.
Resposta
A sequência
converge para 0 quando
tende ao infinito.