Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\operatorname{arctg} k}{1+k^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\arctan k}{1+k^{2}}.
O conteúdo aqui é séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação assintótica (ou comparação simples) com uma série p-adica para decidir se ela converge.

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação, note que para todo k\ge1 vale
0 \le \arctan k \le \frac{\pi}{2}.
Logo, para k\ge1,
0 \le \frac{\arctan k}{1+k^{2}} \le \frac{\pi/2}{1+k^{2}}.

Passo 3

Como 1+k^{2}\ge k^{2} para k\ge1, temos
\frac{\pi/2}{1+k^{2}} \le \frac{\pi/2}{k^{2}}.
E sabemos que a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}
é convergente (é uma série p-adica com p=2>1). Pelo teste de comparação,
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\arctan k}{1+k^{2}}
converge. O termo de índice k=0 é \arctan(0)/(1+0^{2})=0, que não altera a convergência.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\arctan k}{1+k^{2}} é convergente (na verdade, converge absolutamente por comparação com uma série p-adica de ordem 2).

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