Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\ln k}{1+\ln k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\ln k}{1+\ln k}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular o teste do termo geral (condição necessária).

Passo 2

Vamos analisar o comportamento do termo geral
a_k = \frac{\ln k}{1+\ln k}.
Para k\to\infty, nota-se que \ln k\to\infty e, portanto,
\lim_{k\to\infty}a_k = \lim_{k\to\infty}\frac{\ln k}{1+\ln k} = \lim_{x\to\infty}\frac{x}{1+x} =1.

Passo 3

Como o limite do termo geral não é zero, o teste do termo geral garante que a série não pode convergir.

Resposta

A série é divergente.

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