Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}\,.
O conteúdo aqui é análise de séries numéricas, e vamos usar o teste da divergência, que diz que se o termo geral a_{n} não tende a zero, a série necessariamente diverge.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}
e calculamos o seu limite. Para isso, analisamos o logaritmo:
\ln a_{n} = n\ln\Bigl(1 - \tfrac{1}{n+1}\Bigr)\,.
Como \ln(1+x)\sim x quando x\to0, temos
\ln a_{n} \sim n\Bigl(-\tfrac{1}{n+1}\Bigr) \longrightarrow -1.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}e^{\ln a_{n}} = e^{-1} = \tfrac{1}{e}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n} = \tfrac{1}{e}\neq 0, o termo geral não se anula. Pelo teste da divergência, a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados