Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n}{3 n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\Bigl(\frac{n}{3n+1}\Bigr).
O conteúdo a ser usado é o teste da condição necessária de convergência: se a série converge, o termo geral deve tender a zero.

Passo 2

Definimos a_n = \ln\!\bigl(n/(3n+1)\bigr). Vamos calcular
\lim_{n\to\infty} a_n.
Primeiro,
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{3n+1} = \frac13,
portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \ln\!\Bigl(\frac{n}{3n+1}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\tfrac13\Bigr) \neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral \ln\bigl(n/(3n+1)\bigr) não tende a zero.

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