Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(k!)^{2}}{(3 k)!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k!)^{2}}{(3k)!}
e pede para verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo usado será o teste da razão para séries de termos não-negativos.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
a_k = \frac{(k!)^{2}}{(3k)!}.
Para aplicar o teste da razão, vamos calcular
\frac{a_{k+1}}{a_k}.

Passo 3

Primeiro escrevemos a_{k+1}:
a_{k+1} = \frac{\bigl((k+1)!\bigr)^{2}}{\bigl(3(k+1)\bigr)!} = \frac{\bigl((k+1)!\bigr)^{2}}{(3k+3)!}.
Logo,
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{\bigl((k+1)!\bigr)^{2}}{(3k+3)!}} {\frac{(k!)^{2}}{(3k)!}} = \frac{((k+1)!)^{2}}{(k!)^{2}}\;\frac{(3k)!}{(3k+3)!}.

Passo 4

Agora simplificamos cada fator:
\frac{((k+1)!)^{2}}{(k!)^{2}} = (k+1)^{2},
\frac{(3k)!}{(3k+3)!} = \frac{1}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)}.
Portanto
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)^{2}}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)}.
Para k\to\infty, o termo dominante no numerador é k^{2} e no denominador é (3k)^{3}=27k^{3}. Logo
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)^{2}}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)} = 0.

Passo 5

Como o limite da razão é
L = \lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = 0 < 1,
o teste da razão nos garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k!)^{2}}{(3k)!} é convergente.

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