Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2)!}{4!n!2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2)!}{4!\,n!\,2^{n}}.
Trata-se de uma série de termos positivos; um método padrão para esse tipo de série é o teste da razão (ou de d’Alembert).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o termo geral. Note que
(n+2)! = (n+2)(n+1)\,n!,
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a_{n} \;=\;\frac{(n+2)!}{4!\,n!\,2^{n}} =\frac{(n+2)(n+1)\,n!}{24\,n!\,2^{n}} =\frac{(n+2)(n+1)}{24\;2^{n}}.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, consideramos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\tfrac{(n+3)(n+2)}{24\;2^{\,n+1}}}{\tfrac{(n+2)(n+1)}{24\;2^{\,n}}} =\frac{(n+3)(n+2)}{2^{\,n+1}}\;\cdot\;\frac{2^{\,n}}{(n+2)(n+1)} =\frac{n+3}{2(n+1)}.
Então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{2(n+1)} =\frac12<1.
Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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