Verifique se os seguintes subconjuntos de R^3 são LI.
alpha=(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
alpha = (1,0,1),,(0,1,1),,(1,1,0)subsetR^3
é linearmente independente (LI). Para isso, usamos a definição: \emph{os vetores são LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial}, isto é,
c1(1,0,1) + c2(0,1,1) + c3(1,1,0) = (0,0,0) implies c1 = c2 = c3 = 0

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e igualamos a zero:
c1(1,0,1) + c2(0,1,1) + c3(1,1,0) = (0,0,0)
Isso gera um sistema para os coeficientes c1,c2,c3.

Passo 3

Obtemos o sistema de equações coordenada a coordenada:
c1 + 0cdot c2 + c3 = 0, 0cdot c1 + c2 + c3 = 0, c1 + c2 + 0cdot c3 = 0
Ou, de forma simplificada,
c1 + c3 = 0, c2 + c3 = 0, c1 + c2 = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
1. Da terceira equação segue c1 = -c2.
2. Substituindo em c1 + c3 = 0 -c2 + c3 = 0, logo c3 = c2.
3. Substituindo em c2 + c3 = 0 c2 + c2 = 0, ou seja 2c2 = 0, de onde c2 = 0.
4. Então c1 = -c2 = 0 e c3 = c2 = 0.

Passo 5

Como a única solução é c1=c2=c3=0, concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto alpha é linearmente independente.

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