Verifique se os seguintes subconjuntos de R^3 são LI.
alpha=(1,2,1),(0,3,5),(1,-1,-4).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
alpha = (1,2,1),,(0,3,5),,(1,-1,-4)
é linearmente independente (LI) em R^3.
Lembrando a definição: \emph{um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação trivial, i.e.\ se
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = (0,0,0)
implica c1 = c2 = c3 = 0.}

Passo 2

Vamos considerar a combinação linear genérica
c1(1,2,1) ;+; c2(0,3,5) ;+; c3(1,-1,-4) ;=;(0,0,0)
e escrever as três equações escalares correspondentes:
c1 + c3 = 0, 2c1 + 3c2 - c3 = 0, c1 + 5c2 - 4c3 = 0

Passo 3

Da primeira equação segue
c1 = -,c3
Substituindo em 2c1+3c2-c3=0 obtemos
2(-c3)+3c2 - c3 = 0 Longrightarrow 3c2 - 3c3 = 0 Longrightarrow c2 = c3

Passo 4

Substituindo c1=-c3 e c2=c3 na terceira equação
c1 + 5c2 - 4c3 = -c3 + 5c3 -4c3 = 0
vemos que ela é sempre satisfeita, sem impor c3=0.
Logo existe solução não trivial, por exemplo
c3=1, c1=-1, c2=1 Longrightarrow -,v1 + v2 + v3 = 0

Resposta

O conjunto alpha é linearmente dependente.

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