Verifique se os seguintes subconjuntos são linearmente dependentes ou linearmente independentes nos respetivos espaços vetoriais sobre R.
(-1,1,2),(-7,8,22),(0,1,8) em R^3.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1 = (-1,1,2), v2 = (-7,8,22), v3 = (0,1,8)
em R^3 e pede para verificar se eles são linearmente independentes ou dependentes. Vamos usar a definição: são linearmente dependentes se existir uma combinação não trivial
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = (0,0,0)
com algum coeficiente diferente de zero.

Passo 2

Escrevendo
alpha(-1,1,2) + beta(-7,8,22) + gamma(0,1,8) = (0,0,0)
obtemos o sistema de equações:
-alpha ;-;7beta ;=;0,
alpha ;+;8beta ;+;gamma ;=;0,
2alpha ;+;22beta ;+;8gamma ;=;0

Passo 3

Multiplicando a segunda equação por 2 e subtraindo da terceira:
2alpha +16beta +2gamma = 0 Longrightarrow (2alpha+22beta+8gamma)-(2alpha+16beta+2gamma)=6beta+6gamma=0
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beta = -gamma
Substituindo em -alpha -7beta=0
-alpha -7(-gamma)=0 Longrightarrow alpha = 7gamma
Portanto
(alpha,beta,gamma) = (7t,,-t,,t), tneq0,
mostrando que existe solução não trivial.

Passo 4

Como encontramos (alpha,beta,gamma)neq(0,0,0) que satisfaz a combinação linear zero, concluímos que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto (-1,1,2),,(-7,8,22),,(0,1,8) é linearmente dependente em R^3.

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