Verifique se os seguintes subconjuntos são linearmente dependentes ou linearmente independentes nos respetivos espaços vetoriais sobre
.
em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente independente em , o espaço de todas as funções reais em
. Para isso, vamos usar a definição de dependência linear: elas são dependentes se existe uma combinação linear não trivial que seja a função zero.
é linearmente independente em
Passo 2
Considere uma combinação linear genérica dessas três funções igual à função zero em todo
, isto é, existam escalares
tais que
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
Logo,
. Substituindo em nossa combinação:
para todo
.
Passo 4
Para que isso seja zero para todo
Uma escolha não trivial é, por exemplo, e
, pois então
Esse vetor de coeficientes
prova a dependência linear.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente em
.