Verifique se os seguintes subconjuntos são linearmente dependentes ou linearmente independentes nos respetivos espaços vetoriais sobre R.
cos ^2(x), sen^2(x), 6 em F([0,1]).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
cos^2(x),,sen^2(x),,6
é linearmente independente em F([0,1]), o espaço de todas as funções reais em [0,1]. Para isso, vamos usar a definição de dependência linear: elas são dependentes se existe uma combinação linear não trivial que seja a função zero.

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica dessas três funções igual à função zero em todo xin[0,1], isto é, existam escalares a,b,cinR tais que
acos^2(x) ;+; b,sen^2(x) ;+; ccdot 6 ;=; 0 forall,xin[0,1]

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica fundamental
cos^2(x) + sen^2(x) = 1
Logo, sen^2(x)=1-cos^2(x). Substituindo em nossa combinação:
acos^2(x) + bl(1-cos^2(x)r) + 6c = 0 ;;Longrightarrow;; (a - b)cos^2(x) + b + 6c = 0
para todo x.

Passo 4

Para que isso seja zero para todo
Uma escolha não trivial é, por exemplo, e , pois então
Esse vetor de coeficientes prova a dependência linear.

Resposta

O conjunto cos^2(x),,sen^2(x),,6 é linearmente dependente em F([0,1]).

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