Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaço de M2 times 2(R) :
todas as matrizes da forma (lla & 0 0 & d).

Passo 1

O enunciado quer saber se o conjunto
W = la & 00 & dmid a,dinRr
é um subespaço do espaço vetorial M2times2(R). Para isso, lembramos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se:
  1. O vetor zero de V está em W.
  2. W é fechado sob soma: se X,Yin W então X+Yin W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se Xin W e lambdainR então lambda Xin W.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero de M2times2(R), que é
0 = 0 & 00 & 0,
está em W. Basta escolher a=0 e d=0. Logo 0in W.

Passo 3

Sejam
X = a & 00 & d e Y = a' & 00 & d'
do conjunto W. Então
X + Y = a+a' & 00 & d+d',
que ainda é da forma diagonal l(a+a',,d+d'r). Logo X+Yin W, ou seja, W é fechado sob soma.

Passo 4

Seja um escalar lambdainR e
X = a & 00 & din W
Então
lambda X = lambda a & 00 & lambda d,
que também é diagonal, portanto lambda Xin W. Assim, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes da forma a & 00 & d é subespaço de M2times2(R).

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