Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de
:
todos os polinômios da forma
, onde
e
são números reais quaisquer.
todos os polinômios da forma
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço:
-
deve conter o polinômio zero. -
deve ser fechado sob soma. -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero está em
.
O polinômio zero em é
O polinômio zero em
Como ele se encaixa na forma
(tomando
), temos
Passo 3
Mostramos a fechadura sob soma.
Tomemos
Tomemos
com
. Então
Esse polinômio também não tem termo constante, logo está em
. Assim,
Passo 4
Mostramos a fechadura sob multiplicação por escalar.
Se e
Se
então
que também não tem termo constante. Logo
Passo 5
Como
contém o polinômio zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.
Resposta
O conjunto dado é um subespaço de
.