Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de P3(R) :
todos os polinômios da forma a1 x+a2 x^2+a3 x^3, onde a1, a2 e a3 são números reais quaisquer.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = l,a1x + a2x^2 + a3x^3 mid a1,a2,a3inRr
é um subespaço do espaço vetorial P3(R). Para isso, vamos usar a definição de subespaço:
  1. S deve conter o polinômio zero.
  2. S deve ser fechado sob soma.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero está em S.
O polinômio zero em P3(R) é
0 = 0cdot x + 0cdot x^2 + 0cdot x^3
Como ele se encaixa na forma a1x + a2x^2 + a3x^3 (tomando a1=a2=a3=0), temos
0in S

Passo 3

Mostramos a fechadura sob soma.
Tomemos
p(x)=a1x + a2x^2 + a3x^3, q(x)=b1x + b2x^2 + b3x^3
com ai,biinR. Então
p(x)+q(x) =(a1+b1)x + (a2+b2)x^2 + (a3+b3)x^3
Esse polinômio também não tem termo constante, logo está em S. Assim,
p+qin S

Passo 4

Mostramos a fechadura sob multiplicação por escalar.
Se lambdainR e
p(x)=a1x + a2x^2 + a3x^3,
então
lambda,p(x) =(lambda a1)x + (lambda a2)x^2 + (lambda a3)x^3,
que também não tem termo constante. Logo
lambda pin S

Passo 5

Como S contém o polinômio zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que S é de fato um subespaço de P3(R).

Resposta

O conjunto dado é um subespaço de P3(R).

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