Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de
:
todos os polinômios da forma
para os quais a soma dos coeficientes é um número inteiro.
todos os polinômios da forma
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
das funções polinomiais de grau no máximo 3, e o subconjunto
Para verificar se
é subespaço vetorial precisamos checar:
-
. -
. -
.
Passo 2
Verificamos o polinômio zero
. A soma de coeficientes é
que é um inteiro. Logo
.
Passo 3
Sejam
com somas de coeficientes
. Então os coeficientes de
somam
portanto
. Assim,
é fechado sob soma.
Passo 4
Considere
cuja soma de coeficientes é
, e um escalar qualquer
. A soma dos coeficientes de
é
Em geral
não é inteiro (por exemplo
e
dão
). Logo
em geral.
Resposta
O conjunto não é subespaço vetorial de
.