Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de P3(R) :
todos os polinômios da forma a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 para os quais a soma dos coeficientes é um número inteiro.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial ,P3(R) das funções polinomiais de grau no máximo 3, e o subconjunto
S = l,p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3in P3(R) mid a0+a1+a2+a3inZr
Para verificar se S é subespaço vetorial precisamos checar:
  1. 0in S.
  2. p,qin Simplies p+qin S.
  3. pin S,;cinRimplies c,pin S.

Passo 2

Verificamos o polinômio zero 0(x)=0+0x+0x^2+0x^3. A soma de coeficientes é
0+0+0+0=0,
que é um inteiro. Logo 0in S.

Passo 3

Sejam p,qin S com somas de coeficientes m,ninZ. Então os coeficientes de p+q somam
(m)+(n)=m+ninZ,
portanto p+qin S. Assim, S é fechado sob soma.

Passo 4

Considere pin S cuja soma de coeficientes é minZ, e um escalar qualquer cinR. A soma dos coeficientes de c,p é
c,(a0+a1+a2+a3)=c,m
Em geral c,m não é inteiro (por exemplo c=tfrac12 e m=1 dão c,m=tfrac12notinZ). Logo c,pnotin S em geral.

Resposta

O conjunto não é subespaço vetorial de P3(R).

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