Verifique se as seguintes transformações lineares são injetoras, sobrejetoras, e/ou bijetoras:
T: R^2 R^3, T(x, y)=(x+y, y, 2 x)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (,x + y,;y,;2x,)
Queremos verificar se T é injetora (kernel trivial), sobrejetora (imagem igual a R^3) e, consequentemente, bijetora.

Passo 2

Para checar a injetividade, calculamos o núcleo de
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem . Então da primeira se confirma . Logo

Passo 3

Como ker(T) é apenas o vetor nulo, concluímos que T é injetora.

Passo 4

Para checar a sobrejetividade, observamos as imagens dos vetores da base canônica de R^2:
T(1,0) = (1,0,2), T(0,1) = (1,1,0)
Esses dois vetores em R^3 são linearmente independentes (não há lambda tal que (1,0,2)=lambda(1,1,0)). Logo o posto de T é 2. Pela Teoria da Dimensão,
dim(Im,T) = 2 < 3 = dim(R^3),
então a imagem de T não é todo R^3. Portanto T não é sobrejetora.

Resposta

T é injetora, não é sobrejetora e, logo, não é bijetora.

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