Verifique se as seguintes transformações lineares são injetoras, sobrejetoras, e/ou bijetoras:
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Queremos verificar se
é injetora (kernel trivial), sobrejetora (imagem igual a
) e, consequentemente, bijetora.
Passo 2
Para checar a injetividade, calculamos o núcleo de
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem . Então da primeira se confirma
. Logo
Passo 3
Como
ker(T) é apenas o vetor nulo, concluímos que
T é injetora.
Passo 4
Para checar a sobrejetividade, observamos as imagens dos vetores da base canônica de
R^2 :
Esses dois vetores em
R^3 são linearmente independentes (não há
lambda tal que
(1,0,2)=lambda(1,1,0) ). Logo o posto de
T é 2. Pela Teoria da Dimensão,
então a imagem de
T não é todo
R^3 . Portanto
T não é sobrejetora.