Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
a_{n}=\frac{\ln n}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{\ln n}{n} para todo n\in\mathbb{N}^{*} e pede para verificar se essa sequência converge e, em caso afirmativo, determinar o limite.
Informações relevantes:
  • A sequência é definida apenas para n inteiros positivos.
  • A expressão envolve o logaritmo natural \ln n (definido para n>0) e a divisão por n.
  • O que se quer: saber se \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n existe e, se existir, encontrar o valor.

Passo 2

Estratégia prática (explicação didática). Uma maneira simples é estudar a função contínua
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0,
calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) e então usar que, se \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L, a sequência \bigl(f(n)\bigr)_{n\in\mathbb{N}} também tende para L. Isso vale porque a sequência \bigl(f(n)\bigr) é apenas a função avaliada nos inteiros, ou seja, é uma subsequência da família de valores f(x) quando x\to\infty.
Antes de aplicar esse argumento, explico a ferramenta que vou usar para calcular o limite da função: a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Lembrete sobre a regra de L’Hôpital (aula rápida):
  • Se temos uma expressão do tipo \displaystyle \frac{u(x)}{v(x)} e, quando x\to\infty, tanto u(x)\to\infty quanto v(x)\to\infty (ou ambos tendem a 0), então a forma é indeterminada \tfrac{\infty}{\infty} (ou \tfrac{0}{0}).
  • A regra de L’Hôpital diz que, se u e v são diferenciáveis e \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{u'(x)}{v'(x)} existe (finito ou \pm\infty), então
\lim_{x\to\infty}\frac{u(x)}{v(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{u'(x)}{v'(x)}.
  • Aqui u(x)=\ln x e v(x)=x. Quando x\to\infty, temos u(x)\to\infty e v(x)\to\infty, então a forma é \tfrac{\infty}{\infty} e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital:
  • Calculo as derivadas: u'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} e v'(x)=\dfrac{d}{dx}x=1.
  • Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}.
  • E \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.

Passo 5

Passando do limite da função para o limite da sequência. Como \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0 com f(x)=\dfrac{\ln x}{x}, a sequência a_n=f(n)=\dfrac{\ln n}{n} também tende a 0 quando n\to\infty. Intuição: os inteiros n formam uma sequência n\to\infty e avaliar f nesses pontos dá a sequência desejada; se f(x) vai a 0 para todo x grande, os valores em n também vão a 0.

Passo 6

Comentário intuitivo adicional (para fixar): o logaritmo cresce muito mais devagar que uma função linear. Mesmo que \ln n aumente sem limite, ele cresce tão devagar que, dividindo por n, o quociente vai para zero. Por exemplo, \dfrac{\ln 100}{100}\approx\dfrac{4{,}605}{100}=0{,}04605, já pequeno; para n maiores isso fica ainda menor.

Resposta

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