Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para todo
e pede para verificar se essa sequência converge e, em caso afirmativo, determinar o limite.
Informações relevantes:
- A sequência é definida apenas para
inteiros positivos. - A expressão envolve o logaritmo natural
(definido para ) e a divisão por . - O que se quer: saber se
existe e, se existir, encontrar o valor.
Passo 2
Estratégia prática (explicação didática). Uma maneira simples é estudar a função contínua
calcular
e então usar que, se
, a sequência
também tende para
. Isso vale porque a sequência
é apenas a função avaliada nos inteiros, ou seja, é uma subsequência da família de valores
quando
.
Antes de aplicar esse argumento, explico a ferramenta que vou usar para calcular o limite da função: a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Lembrete sobre a regra de L’Hôpital (aula rápida):
- Se temos uma expressão do tipo
e, quando , tanto quanto (ou ambos tendem a ), então a forma é indeterminada (ou ). - A regra de L’Hôpital diz que, se
e são diferenciáveis e existe (finito ou ), então
- Aqui
e . Quando , temos e , então a forma é e podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital:
- Calculo as derivadas:
e . - Pela regra de L’Hôpital,
- E
. Portanto
Passo 5
Passando do limite da função para o limite da sequência. Como
com
, a sequência
também tende a
quando
. Intuição: os inteiros
formam uma sequência
e avaliar
nesses pontos dá a sequência desejada; se
vai a
para todo
grande, os valores em
também vão a
.
Passo 6
Comentário intuitivo adicional (para fixar): o logaritmo cresce muito mais devagar que uma função linear. Mesmo que
aumente sem limite, ele cresce tão devagar que, dividindo por
, o quociente vai para zero. Por exemplo,
, já pequeno; para
maiores isso fica ainda menor.