Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
converge quando
. Se convergir, encontrar o limite.
Informações dadas: a sequência está definida para todo e envolve funções logaritmo natural
de expressões que crescem com
.
Informações dadas: a sequência está definida para todo
Passo 2
Vamos observar o comportamento das duas partes que aparecem no quociente. Para
vale:
portanto estamos diante de uma indeterminação do tipo
. Isso significa que precisamos comparar com mais cuidado a taxa de crescimento do numerador e do denominador.
Passo 3
Uma técnica simples e eficiente é escrever cada logaritmo como a soma de
e um termo que tende a zero. Use as propriedades do logaritmo:
e
Aqui usei a identidade
. Note que, porque
e
, pela continuidade de
em
vale
Passo 4
Substituindo essas decomposições em
obtemos
Agora dividimos numerador e denominador por
(que é positivo para
grande), para isolar o termo dominante:
Como
e
, ambos os quocientes
e
tendem a
(porque
). Logo o numerador da fração tende a
e o denominador também tende a
.
Passo 5
Pelo passo anterior, o limite da sequência existe e é o limite do quociente cujo numerador e denominador tendem a
. Portanto
Intuição curta: tanto
quanto
crescem como
quando
é grande, então a razão tende a
.