Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
\left\{\frac{\ln (n+2)}{\ln (1+4 n)}\right\}_{n=1}^{\infty}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_n=\frac{\ln(n+2)}{\ln(1+4n)}
converge quando n\to\infty. Se convergir, encontrar o limite.
Informações dadas: a sequência está definida para todo n\ge1 e envolve funções logaritmo natural \ln de expressões que crescem com n.

Passo 2

Vamos observar o comportamento das duas partes que aparecem no quociente. Para n\to\infty vale:
\ln(n+2)\to\infty \qquad\text{e}\qquad \ln(1+4n)\to\infty,
portanto estamos diante de uma indeterminação do tipo \infty/\infty. Isso significa que precisamos comparar com mais cuidado a taxa de crescimento do numerador e do denominador.

Passo 3

Uma técnica simples e eficiente é escrever cada logaritmo como a soma de \ln n e um termo que tende a zero. Use as propriedades do logaritmo:
\ln(n+2)=\ln\big(n(1+\tfrac{2}{n})\big)=\ln n+\ln\big(1+\tfrac{2}{n}\big)
e
\ln(1+4n)=\ln\big(4n\big)+\ln\big(1+\tfrac{1}{4n}\big)=\ln n+\ln 4+\ln\big(1+\tfrac{1}{4n}\big).
Aqui usei a identidade \ln(ab)=\ln a+\ln b. Note que, porque \tfrac{2}{n}\to0 e \tfrac{1}{4n}\to0, pela continuidade de \ln em 1 vale
\ln\big(1+\tfrac{2}{n}\big)\to0 \qquad\text{e}\qquad \ln\big(1+\tfrac{1}{4n}\big)\to0.

Passo 4

Substituindo essas decomposições em a_n obtemos
a_n =\frac{\ln n+\ln\big(1+\tfrac{2}{n}\big)}{\ln n+\ln 4+\ln\big(1+\tfrac{1}{4n}\big)}.
Agora dividimos numerador e denominador por \ln n (que é positivo para n grande), para isolar o termo dominante:
a_n =\frac{1+\dfrac{\ln\big(1+\tfrac{2}{n}\big)}{\ln n}} {1+\dfrac{\ln 4+\ln\big(1+\tfrac{1}{4n}\big)}{\ln n}}.
Como \ln\big(1+\tfrac{2}{n}\big)\to0 e \ln\big(1+\tfrac{1}{4n}\big)\to0, ambos os quocientes
\dfrac{\ln\big(1+\tfrac{2}{n}\big)}{\ln n} e \dfrac{\ln 4+\ln\big(1+\tfrac{1}{4n}\big)}{\ln n} tendem a 0 (porque \ln n\to\infty). Logo o numerador da fração tende a 1 e o denominador também tende a 1.

Passo 5

Pelo passo anterior, o limite da sequência existe e é o limite do quociente cujo numerador e denominador tendem a 1. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1+0}{1+0}=1.
Intuição curta: tanto \ln(n+2) quanto \ln(1+4n) crescem como \ln n quando n é grande, então a razão tende a 1.

Resposta

1

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