Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
\left(\frac{1+(-1)^{n}(n+1)}{2 n}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_n=\left(\frac{1+(-1)^{n}(n+1)}{2 n}\right)_{n\in\mathbb{N}}
converge. Se convergir, determina-se o limite. Informações dadas:
  • A fórmula geral da sequência é \displaystyle a_n=\frac{1+(-1)^{n}(n+1)}{2n}.
  • A pergunta é: a sequência converge? Se sim, qual é \lim_{n\to\infty} a_n?

Passo 2

Estratégia básica (sem resolver ainda): muitas sequências com (-1)^n alternam comportamento entre termos pares e ímpares, então é útil separar em duas subsequências: uma para n par e outra para n ímpar. Se essas duas subsequências têm limites diferentes, a sequência original não converge.

Passo 3

Calcular a subsequência para n par. Escreva n=2k com k\in\mathbb{N}. Substituindo:
a_{2k}=\frac{1+(-1)^{2k}(2k+1)}{2(2k)}.
Como (-1)^{2k}=1, isso vira
a_{2k}=\frac{1+(2k+1)}{4k}=\frac{2k+2}{4k}=\frac{k+1}{2k}.
Reescrevendo para ver o comportamento quando k\to\infty:
a_{2k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2k}.
Conclusão: a subsequência dos termos pares satisfaz \displaystyle a_{2k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2k}, portanto
\lim_{k\to\infty} a_{2k}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Calcular a subsequência para n ímpar. Escreva n=2k+1 com k\in\mathbb{N}_0. Substituindo:
a_{2k+1}=\frac{1+(-1)^{2k+1}(2k+2)}{2(2k+1)}.
Como (-1)^{2k+1}=-1, isso vira
a_{2k+1}=\frac{1-(2k+2)}{4k+2}=\frac{-2k-1}{4k+2}.
Fatorando 2 no denominador:
a_{2k+1}=-\frac{2k+1}{2(2k+1)}=-\frac{1}{2}.
Conclusão: todos os termos ímpares são exatamente -\tfrac{1}{2}, logo a subsequência ímpar tem limite
\lim_{k\to\infty} a_{2k+1}=-\frac{1}{2}.

Passo 5

Usar o critério de subsequências para conclusão. Teorema útil (explicado de forma simples): se uma sequência converge para um limite L, então toda subsequência também converge para o mesmo L. Aqui encontramos duas subsequências com limites diferentes:
  • \displaystyle \lim_{k\to\infty} a_{2k}=\frac{1}{2},
  • \displaystyle \lim_{k\to\infty} a_{2k+1}=-\frac{1}{2}.
Como esses limites são distintos ( \tfrac{1}{2}\neq -\tfrac{1}{2}), não existe um único L que seja limite de toda a sequência. Portanto a sequência (a_n) não converge. Uma outra forma de ver (mais “epsilon”) para fixar a intuição: suponha, por absurdo, que \lim_{n\to\infty} a_n=L. Então as subsequências pares e ímpares deveriam tender a L. Mas a subsequência ímpar é constantemente -\tfrac{1}{2}, então L=-\tfrac{1}{2}. Ao mesmo tempo a subsequência par tende a \tfrac{1}{2}, logo L=\tfrac{1}{2}. Contradição. Logo não existe L.

Resposta

A sequência não converge.

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