Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
converge. Se convergir, determina-se o limite. Informações dadas:
- A fórmula geral da sequência é
. - A pergunta é: a sequência converge? Se sim, qual é
?
Passo 2
Estratégia básica (sem resolver ainda): muitas sequências com
alternam comportamento entre termos pares e ímpares, então é útil separar em duas subsequências: uma para
par e outra para
ímpar. Se essas duas subsequências têm limites diferentes, a sequência original não converge.
Passo 3
Calcular a subsequência para
par. Escreva
com
. Substituindo:
Como
, isso vira
Reescrevendo para ver o comportamento quando
:
Conclusão: a subsequência dos termos pares satisfaz
, portanto
Passo 4
Calcular a subsequência para
ímpar. Escreva
com
. Substituindo:
Como
, isso vira
Fatorando
no denominador:
Conclusão: todos os termos ímpares são exatamente
, logo a subsequência ímpar tem limite
Passo 5
Usar o critério de subsequências para conclusão. Teorema útil (explicado de forma simples): se uma sequência converge para um limite
, então toda subsequência também converge para o mesmo
. Aqui encontramos duas subsequências com limites diferentes:
-
, -
.
Como esses limites são distintos (
), não existe um único
que seja limite de toda a sequência. Portanto a sequência
não converge. Uma outra forma de ver (mais “epsilon”) para fixar a intuição: suponha, por absurdo, que
. Então as subsequências pares e ímpares deveriam tender a
. Mas a subsequência ímpar é constantemente
, então
. Ao mesmo tempo a subsequência par tende a
, logo
. Contradição. Logo não existe
.
Resposta
A sequência não converge.