Verifique se a série alternada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n+12 n.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série alternada
sumn=1^infty (-1)^n+12n
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é o teste de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar que os termos em valor absoluto an = tfrac12n são (i) monotonicamente decrescentes e (ii) tendem a zero.

Passo 2

Identificamos os termos em valor absoluto como
an = 12n,, n=1,2,3,dots
e a série escrita como
sumn=1^infty (-1)^n+1an

Passo 3

Mostramos que (an) é decrescente: para todo n>=1,
an+1 = 12(n+1) < 12n = an,
pois o denominador 2(n+1) é maior que 2n.

Passo 4

Calculamos o limite dos termos:
limntoinfty an = limntoinfty 12n = 0
Assim, satisfazemos a segunda condição do teste de Leibniz.

Passo 5

Pelo teste de Leibniz, a série alternada
sumn=1^infty (-1)^n+1an
converge.

Passo 6

Para verificar convergência absoluta, olhamos a série
sumn=1^infty l|(-1)^n+1tfrac12nr| = sumn=1^infty 12n = 12sumn=1^infty 1n
Como a série harmônica sum1/n diverge, esta também diverge. Logo não há convergência absoluta.

Passo 7

Concluímos que a série converge, mas não absolutamente, ou seja, converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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