Verifique se a série converge ou diverge. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3 n}}{3^{2 n}}.
Passo 1
O enunciado dá a série infinita e pede que eu verifique se ela converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3 n}}{3^{2 n}}.
Informações relevantes dadas:
A série é somatório de termos indexados por n começando em 1.
Cada termo é \dfrac{2^{3n}}{3^{2n}}.
O objetivo é decidir convergência/divergência e, se convergir, encontrar a soma.
Passo 2
Vou simplificar o termo geral usando propriedades de potências. Lembre que para quaisquer números a,b e inteiro n vale (a^k)^n = a^{k n} e \dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}. Aplicando aqui:
Conclusão final: a série converge e sua soma é \,8. (Se estiver na prova, escreva: a série é geométrica com razão \tfrac{8}{9}, |r|<1, portanto converge e soma 8.)