Verifique se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3 n}}{3^{2 n}}.

Passo 1

O enunciado dá a série infinita e pede que eu verifique se ela converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3 n}}{3^{2 n}}.
Informações relevantes dadas:
  • A série é somatório de termos indexados por n começando em 1.
  • Cada termo é \dfrac{2^{3n}}{3^{2n}}.
    O objetivo é decidir convergência/divergência e, se convergir, encontrar a soma.

Passo 2

Vou simplificar o termo geral usando propriedades de potências. Lembre que para quaisquer números a,b e inteiro n vale (a^k)^n = a^{k n} e \dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}. Aplicando aqui:
\frac{2^{3n}}{3^{2n}} = \frac{(2^3)^n}{(3^2)^n} = \left(\frac{2^3}{3^2}\right)^n = \left(\frac{8}{9}\right)^n.
Portanto a série se escreve como
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{8}{9}\right)^n.

Passo 3

A expressão obtida é uma série geométrica. Uma série geométrica tem termos da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}, onde r é a razão. Aqui
r = \frac{8}{9}.
Vou usar a propriedade fundamental das séries geométricas: elas convergem se, e somente se, |r|<1; nesse caso a soma é dada por uma fórmula fechada.

Passo 4

Explico a fórmula e o porquê: a soma parcial dos N primeiros termos da série geométrica é
S_N = \sum_{n=1}^{N} r^{n} = r + r^2 + \cdots + r^N.
Multiplicando por (1-r) e usando cancelamento obtém-se a fórmula clássica (mostro o cálculo):
(1-r)S_N = S_N - rS_N = (r + r^2 + \cdots + r^N) - (r^2 + r^3 + \cdots + r^{N+1}) = r - r^{N+1}.
Logo
S_N = \frac{r - r^{N+1}}{1-r} = \frac{r(1-r^{N})}{1-r}.
Se |r|<1 então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, então a soma infinita vale
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac{r}{1-r}.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: r=\dfrac{8}{9}. Primeiro verifico o critério de convergência:
\left|r\right| = \left|\frac{8}{9}\right| = \frac{8}{9} < 1.
Como |r|<1, a série converge. Além disso r^{N}\to 0 quando N\to\infty.

Passo 6

Agora calculo a soma usando a fórmula:
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{8}{9}\right)^n = \frac{r}{1-r} = \frac{\tfrac{8}{9}}{1-\tfrac{8}{9}}.
Faço a conta passo a passo:
1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}, \qquad \frac{\tfrac{8}{9}}{\tfrac{1}{9}}=\frac{8}{9}\cdot\frac{9}{1}=8.

Passo 7

Conclusão final: a série converge e sua soma é \,8. (Se estiver na prova, escreva: a série é geométrica com razão \tfrac{8}{9}, |r|<1, portanto converge e soma 8.)

Resposta

Converge; soma 8.

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