Verifique se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}}
converge ou diverge, e — se converge — determinar seu valor. As informações que temos são os termos gerais da série: para cada n o termo é \dfrac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}}. Não há outras condições escondidas.

Passo 2

Uma observação útil é separar o termo em duas parcelas, porque o numerador é uma diferença de potências. Escrevemos:
\frac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}}=\frac{3^{n}}{8^{n}}-\frac{5^{n}}{8^{n}}=\left(\frac{3}{8}\right)^{n}-\left(\frac{5}{8}\right)^{n}.
Assim a série original se torna a diferença de duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{8}\right)^{n}-\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{8}\right)^{n}.

Passo 3

Agora vou explicar a ferramenta principal: a série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n},
onde r é a constante chamada razão. Há duas coisas importantes a saber:
  • Se |r|<1, a série geométrica converge e seu valor é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Aqui r é a razão e 1-r é o denominador que surge do somatório infinito de uma progressão geométrica.
  • Se |r|\ge 1, a série geométrica diverge (os termos não vão a zero suficientemente rápido).
Essa fórmula vem do cálculo da soma parcial e do limite quando o número de termos vai para infinito; se quiser posso mostrar a derivação, mas aqui usarei a fórmula direta porque é padrão.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da série geométrica às duas séries separadas. Primeiro observe os valores das razões:
r_1=\frac{3}{8},\qquad r_2=\frac{5}{8}.
Ambos satisfazem |r_1|<1 e |r_2|<1, portanto cada série geométrica converge.
Usando a fórmula:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{8}\right)^{n}=\frac{\tfrac{3}{8}}{1-\tfrac{3}{8}} \qquad\text{e}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{8}\right)^{n}=\frac{\tfrac{5}{8}}{1-\tfrac{5}{8}}.

Passo 5

Vamos simplificar cada uma das frações passo a passo.
Para a primeira:
\frac{\tfrac{3}{8}}{1-\tfrac{3}{8}}=\frac{\tfrac{3}{8}}{\tfrac{5}{8}}=\frac{3}{8}\cdot\frac{8}{5}=\frac{3}{5}.
Para a segunda:
\frac{\tfrac{5}{8}}{1-\tfrac{5}{8}}=\frac{\tfrac{5}{8}}{\tfrac{3}{8}}=\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{3}=\frac{5}{3}.

Passo 6

A série original é a diferença entre essas duas somas:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}}=\frac{3}{5}-\frac{5}{3}.
Agora fazemos a subtração com denominador comum:
\frac{3}{5}-\frac{5}{3}=\frac{3\cdot 3-5\cdot 5}{15}=\frac{9-25}{15}=\frac{-16}{15}.

Passo 7

Comentário adicional (útil para prova): como a série pôde ser escrita como diferença de duas séries geométricas com soma finita, ela converge. Além disso, podemos verificar convergência absoluta: os termos em valor absoluto são
\left|\frac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}}\right|=\frac{5^{n}-3^{n}}{8^{n}}=\left(\frac{5}{8}\right)^{n}-\left(\frac{3}{8}\right)^{n},
e a soma desses valores é finita (diferença de duas somas geométricas convergentes), logo a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.

Resposta

A série converge (absolutamente) e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}}=-\frac{16}{15}.

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