Verifique se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge, e — se converge — determinar seu valor. As informações que temos são os termos gerais da série: para cada
o termo é
. Não há outras condições escondidas.
Passo 2
Uma observação útil é separar o termo em duas parcelas, porque o numerador é uma diferença de potências. Escrevemos:
Assim a série original se torna a diferença de duas séries:
Passo 3
Agora vou explicar a ferramenta principal: a série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
onde
é a constante chamada razão. Há duas coisas importantes a saber:
- Se
, a série geométrica converge e seu valor é
Aqui
é a razão e
é o denominador que surge do somatório infinito de uma progressão geométrica.
- Se
, a série geométrica diverge (os termos não vão a zero suficientemente rápido).
Essa fórmula vem do cálculo da soma parcial e do limite quando o número de termos vai para infinito; se quiser posso mostrar a derivação, mas aqui usarei a fórmula direta porque é padrão.
Passo 4
Aplicamos a fórmula da série geométrica às duas séries separadas. Primeiro observe os valores das razões:
Ambos satisfazem
e
, portanto cada série geométrica converge.
Usando a fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar cada uma das frações passo a passo.
Para a primeira:
Para a segunda:
Passo 6
A série original é a diferença entre essas duas somas:
Agora fazemos a subtração com denominador comum:
Passo 7
Comentário adicional (útil para prova): como a série pôde ser escrita como diferença de duas séries geométricas com soma finita, ela converge. Além disso, podemos verificar convergência absoluta: os termos em valor absoluto são
e a soma desses valores é finita (diferença de duas somas geométricas convergentes), logo a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.
Resposta
A série converge (absolutamente) e