O enunciado pede para verificar a convergência da série . Esse problema envolve o estudo de séries numéricas e a aplicação de testes de convergência, como o teste da razão e o teste de convergência absoluta.
Passo 2
Para investigar a convergência, vamos considerar primeiro o módulo dos termos e aplicar o teste da razão, pois ele é eficaz para séries cujo termo geral envolve potência e fator polinomial.
Passo 3
Calculando a razão entre termos consecutivos em valor absoluto:
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinftyn+12^n+1n2^n = limntoinftyn+1ncdot12 = 12
Passo 4
Como L=tfrac12<1, pelo teste da razão a série de módulos sumn=1^infty|(-1)^n n2^n|=sumn=1^inftyn2^n converge. Logo, a série original converge absolutamente.
Passo 5
Sendo absolutamente convergente, a série sumn=1^infty(-1)^n n2^n é convergente.