Verifique se a série é convergente ou divergente. Use o teste das séries alternadas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente, usando o critério de séries alternadas (Teste de Leibniz). Para isso precisamos mostrar que, para
, vale
-
, -
é (eventualmente) não crescente.
Passo 2
Calculamos o limite de
. Como o crescimento de
é mais rápido que o de
, temos
Passo 3
Para ver a monotonicidade, considere a função contínua
Seu derivado é
Note que
sempre que
, isto é,
. Logo, para
,
é decrescente.
Passo 4
Como
e
é (a partir de certo
) não crescente, pelo critério de Leibniz a série alternada
converge. Observação: a série dos valores absolutos
diverge, então a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de séries alternadas.