Verifique se a série é convergente ou divergente. Use o teste das séries alternadas.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln (n)}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}
é convergente ou divergente, usando o critério de séries alternadas (Teste de Leibniz). Para isso precisamos mostrar que, para a_{n}=\ln(n)/\sqrt{n}, vale
  1. \lim_{n\to\infty}a_{n}=0,
  2. a_{n} é (eventualmente) não crescente.

Passo 2

Calculamos o limite de a_{n}. Como o crescimento de \sqrt{n} é mais rápido que o de \ln(n), temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}=0.

Passo 3

Para ver a monotonicidade, considere a função contínua
f(x)=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}},\quad x>0.
Seu derivado é
f'(x) =\frac{1}{x}\,x^{-\tfrac12} -\frac12\,x^{-\tfrac32}\ln(x) =x^{-\tfrac32}\Bigl(1-\tfrac12\ln(x)\Bigr).
Note que f'(x)<0 sempre que \ln(x)>2, isto é, x>e^{2}\approx7{,}39. Logo, para n\ge8, a_{n}=f(n) é decrescente.

Passo 4

Como a_{n}\to0 e a_{n} é (a partir de certo N) não crescente, pelo critério de Leibniz a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}
converge. Observação: a série dos valores absolutos \sum \ln(n)/\sqrt{n} diverge, então a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de séries alternadas.

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