Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}
converge ou diverge. A informação dada é apenas a fórmula do termo geral: para cada n\ge 1 o termo é a_n=\dfrac{n}{2^{n}}. O objetivo é justificar se a soma infinita existe (convergência) e, se possível, calcular o valor da soma.

Passo 2

Vou primeiro mostrar de forma simples que a série converge (teste das razões). Em seguida vou calcular a soma exata (método com a série geométrica e diferenciação). Esses dois passos são padrão e rápidos para séries do tipo \dfrac{n}{2^{n}}.

Passo 3

Aplicando o teste da razão (enunciado do teste): para uma série com termos positivos a_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1,
então a série converge absolutamente (logo converge). Aqui a_n=\dfrac{n}{2^{n}}. Calculamos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{n+1}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{n}{2^{n}}} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{2}.
Agora o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{2} =1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Como L=\dfrac{1}{2}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Portanto a série converge.

Passo 4

Agora vou calcular o valor da soma. Começo pela conhecida série geométrica (válida para |x|<1):
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Aqui x é uma variável real com |x|<1. Diferenciando termo a termo em x (válido dentro do raio de convergência), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x para ter n x^{n} no somatório:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Esta é uma fórmula geral que vale para todo x com |x|<1. No nosso caso temos x=\dfrac{1}{2} porque o termo é n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}. Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n} =\frac{\tfrac{1}{2}}{\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}}.
Calculemos o denominador: 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, portanto \bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{4}. Assim
\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{1}=2.

Passo 5

Resumo e interpretação didática: a série tem termos positivos e o teste da razão deu L=\tfrac{1}{2}<1, então a série converge. Usando a identidade obtida a partir da série geométrica diferenciada, obteve-se a soma exata igual a 2. Isso também mostra convergência (pois a soma existe e é finita).

Resposta

\text{A série converge e } \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}=2.é

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