Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. A informação dada é apenas a fórmula do termo geral: para cada
o termo é
. O objetivo é justificar se a soma infinita existe (convergência) e, se possível, calcular o valor da soma.
Passo 2
Vou primeiro mostrar de forma simples que a série converge (teste das razões). Em seguida vou calcular a soma exata (método com a série geométrica e diferenciação). Esses dois passos são padrão e rápidos para séries do tipo
.
Passo 3
Aplicando o teste da razão (enunciado do teste): para uma série com termos positivos
, se
então a série converge absolutamente (logo converge). Aqui
. Calculamos:
Agora o limite quando
:
Como
, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Portanto a série converge.
Passo 4
Agora vou calcular o valor da soma. Começo pela conhecida série geométrica (válida para
):
Aqui
é uma variável real com
. Diferenciando termo a termo em
(válido dentro do raio de convergência), obtemos
Multiplicando ambos os lados por
para ter
no somatório:
Esta é uma fórmula geral que vale para todo
com
. No nosso caso temos
porque o termo é
. Substituindo:
Calculemos o denominador:
, portanto
. Assim
Passo 5
Resumo e interpretação didática: a série tem termos positivos e o teste da razão deu
, então a série converge. Usando a identidade obtida a partir da série geométrica diferenciada, obteve-se a soma exata igual a
. Isso também mostra convergência (pois a soma existe e é finita).