Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
g
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A informação dada é a fórmula geral do termo: para cada
o termo é
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Vou lembrar duas definições importantes (explicadas de forma simples):
- Uma série
é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos converge. - Se
converge mas diverge, então chamamos de condicionalmente convergente.
Importante: toda série absolutamente convergente é convergente (isso é um teorema padrão).
Passo 3
Para aplicar a definição, primeiro examinamos a série dos valores absolutos. Os termos são
Então consideramos a série
Uma forma prática e padrão de testar séries com fatorial é usar o critério da razão (d’Alembert).
Passo 4
Aplicando o critério da razão à sequência
, calculamos
Agora tomamos o limite quando
:
Como esse limite é
(que é menor que
), o critério da razão nos diz que a série
converge.
Passo 5
Como a série das modulares
converge, a série original é absolutamente convergente. Pelo teorema citado antes, isso também implica que a série original converge (mas a classificação pedida é a de convergência absoluta).
Passo 6
Só um comentário adicional para fixar a intuição: a presença do
no denominador faz os termos irem a zero muito rápido (muito mais rápido que uma potência
), por isso a soma das modulares converge — é exatamente o motivo pelo qual séries tipo a série de Taylor de
convergem.
Resposta
absolutamente convergente.