Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
( g ) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{3^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{3^{n}}{n!}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A informação dada é a fórmula geral do termo: para cada n\ge1 o termo é (-1)^{n-1}\dfrac{3^{n}}{n!}. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vou lembrar duas definições importantes (explicadas de forma simples):
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, então chamamos de condicionalmente convergente.
    Importante: toda série absolutamente convergente é convergente (isso é um teorema padrão).

Passo 3

Para aplicar a definição, primeiro examinamos a série dos valores absolutos. Os termos são
|(-1)^{n-1}\frac{3^n}{n!}|=\frac{3^n}{n!}.
Então consideramos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n!}.
Uma forma prática e padrão de testar séries com fatorial é usar o critério da razão (d’Alembert).

Passo 4

Aplicando o critério da razão à sequência a_n=\dfrac{3^n}{n!}, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{3^n}{n!}} =\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n} =\frac{3}{n+1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1}=0.
Como esse limite é 0 (que é menor que 1), o critério da razão nos diz que a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3^n}{n!} converge.

Passo 5

Como a série das modulares \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3^n}{n!} converge, a série original é absolutamente convergente. Pelo teorema citado antes, isso também implica que a série original converge (mas a classificação pedida é a de convergência absoluta).

Passo 6

Só um comentário adicional para fixar a intuição: a presença do n! no denominador faz os termos irem a zero muito rápido (muito mais rápido que uma potência 3^n), por isso a soma das modulares converge — é exatamente o motivo pelo qual séries tipo a série de Taylor de e^x convergem.

Resposta

absolutamente convergente.

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