Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
( f ) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2}+2 n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2}+2n}
e pede que eu classifique se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações explícitas que temos: os sinais alternam por causa do fator (-1)^{n-1} e os termos de magnitude são
a_n=\frac{1}{n^{2}+2n},
que são positivos para todo n\ge1. A tarefa é decidir entre as três opções pedidas (absoluta, condicional ou divergente).

Passo 2

Vou lembrar rapidamente o que cada termo significa (com jeitinho didático):
  • A série é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2}+2n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n}converge.
  • A série é condicionalmente convergente se a série original converge, mas a série dos módulos diverge.
  • A série é divergente se a série original não converge (independente do que aconteça com os módulos).
Meu plano: testar primeiro a série dos módulos \sum \frac{1}{n^{2}+2n}. Se ela convergir, então já tenho absoluta convergência e posso parar — absoluto é a classificação mais forte.

Passo 3

Vou usar o teste de comparação com uma série p-série. Lembra do que é uma p-série? É a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
Há um resultado padrão: a p-série converge se, e somente se, p>1. Em particular, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge (porque p=2>1). Esse é um fato muito usado como referência para comparações.

Passo 4

Vou comparar termo a termo \frac{1}{n^{2}+2n} com \frac{1}{n^{2}}. Observação simples:
para todo n\ge1 temos
n^{2}+2n \ge n^{2},
logo, invertendo (e lembrando que a inversão reverte a desigualdade para positivos),
\frac{1}{n^{2}+2n}\le \frac{1}{n^{2}}.
Portanto cada termo da série dos módulos é menor ou igual ao correspondente termo da p-série com p=2.

Passo 5

Pelo teste de comparação: se 0\le b_n\le c_n para todo n e \sum c_n converge, então \sum b_n também converge. Aqui tomamos
b_n=\frac{1}{n^{2}+2n},\qquad c_n=\frac{1}{n^{2}},
e já sabemos que \sum c_n converge. Logo \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n} converge. Isso prova que a série dos módulos converge, ou seja, a série é absolutamente convergente.

Passo 6

Como complemento didático (para você entender também a versão via série alternada): note que a_n=\frac{1}{n^{2}+2n} satisfaz \lim_{n\to\infty}a_n=0 porque o denominador cresce como n^{2}. Além disso os a_n são monótonos decrescentes, pois
(n+1)^{2}+2(n+1)-\big(n^{2}+2n\big)=2n+3>0,
portanto a_{n+1}<a_n. Assim a série alternada satisfaria as hipóteses do teste de Leibniz e convergiria — mas isso daria apenas convergência simples; acima mostrei que a soma dos módulos também converge, então temos o caso mais forte: convergência absoluta.

Passo 7

Conclusão e motivo final: a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n} converge por comparação com a p-série \sum \frac{1}{n^{2}}. Logo a série original é absolutamente convergente (e portanto convergente).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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