Verifique se as Séries abaixo são convergente. Em cada item, dizer qual teste foi usado.
sumn=1^infty e^1nn^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série sumn=1^infty e^1/nn^2 e pede para verificar sua convergência.
O conteúdo que vamos usar envolve testes de comparação e, em particular, o teste da comparação em limite com uma p-série.

Passo 2

Observamos que para todo n>=1 temos e^1/n>0 e que a sequência e^1/n tende a 1 quando ntoinfty.
Isso sugere comparar an=e^1/nn^2 com a p-série bn=1n^2, que é convergente pois p=2>1.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação em limite entre an e bn. Calculamos
L=limntoinftyanbn =limntoinftye^1/n =1
Como 0<L<infty e sum bn converge, segue que sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty e^1/nn^2 é convergente pelo teste da comparação em limite com a p-série sum 1/n^2.

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