Verifique se as séries abaixo são convergentes ou não e obtenha sua soma quando forem convergentes.
Passo 1
Quero verificar se
converge e, em caso afirmativo, obter sua soma. Vamos usar decomposição em frações parciais e identificar uma soma telescópica.
Passo 2
Aplicamos fração parcial em
. Buscamos
tais que
Multiplicando por
vem
Igualando coeficientes de
e termos independentes resulta em
e
. Portanto
Passo 3
Formamos a soma parcial até
:
Esse tipo de soma é telescópico: os termos negativos cancelam os positivos seguintes.
Passo 4
Escrevendo alguns termos vemos o cancelamento:
Tudo se reduz a
Passo 5
Para concluir, tomamos o limite quando
. Como
, fica
Portanto a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e sua soma é
.