Verifique se as séries abaixo são convergentes ou não e obtenha sua soma quando forem convergentes.
sumn=0^+infty 1(4 n+1)(4 n+5)

Passo 1

Quero verificar se sumn=0^+infty 1(4n+1)(4n+5) converge e, em caso afirmativo, obter sua soma. Vamos usar decomposição em frações parciais e identificar uma soma telescópica.

Passo 2

Aplicamos fração parcial em 1(4n+1)(4n+5). Buscamos A,B tais que
1(4n+1)(4n+5) = A4n+1 + B4n+5
Multiplicando por (4n+1)(4n+5) vem
1 = A(4n+5) + B(4n+1)
Igualando coeficientes de n e termos independentes resulta em A=tfrac14 e B=-tfrac14. Portanto
1(4n+1)(4n+5) = 14l(14n+1 - 14n+5r)

Passo 3

Formamos a soma parcial até N:
SN = sumn=0^N 1(4n+1)(4n+5) = 14 sumn=0^N l(14n+1 - 14n+5r)
Esse tipo de soma é telescópico: os termos negativos cancelam os positivos seguintes.

Passo 4

Escrevendo alguns termos vemos o cancelamento:
14l(1 - tfrac15 + tfrac15 - tfrac19 + tfrac19 - tfrac113 + cdots + tfrac14N+1 - tfrac14N+5r)
Tudo se reduz a
SN = 14l(1 - 14N+5r)

Passo 5

Para concluir, tomamos o limite quando N to infty. Como 14N+5 to 0, fica
limNtoinfty SN = 14(1-0) = 14
Portanto a série converge e sua soma é tfrac14.

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac14.

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