Verifique se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty a^n2^n^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^inftya^n2^n^2
e pede para verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é de testes de convergência de séries numéricas, em particular séries de termos que envolvem potências. Vamos aplicar o teste da raiz (ou alternativamente o teste da razão) para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Usando o teste da raiz, calculamos
limntoinftyraiz[n]|a^n2^n^2| =limntoinfty|a|2^n =0
Como esse limite 0 é estritamente menor que 1, concluímos que a série converge absolutamente, independentemente do valor de a.

Resposta

A série
sumn=1^inftya^n2^n^2
converge absolutamente (logo converge) para todo ainR.

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