Verifique se as séries são convergentes através do Teste da Série Alternada. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot n^2n^3+4

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1,n^2n^3+4
e pede para verificar a convergência usando o Teste da Série Alternada. Para isso, vamos chamar
an = n^2n^3+4
e checar:
  1. an>0 para todo n,
  2. limntoinftyan=0,
  3. an é (eventualmente) decrescente.

Passo 2

Verificamos primeiro o limite de an:
limntoinftyn^2n^3+4 =limntoinfty1n+4n^2 =0
Logo, a segunda condição do teste está satisfeita.

Passo 3

Para mostrar que an é decrescente a partir de certo n, consideramos a função contínua
f(x)=x^2x^3+4, x>=1,
e calculamos a derivada:
f'(x) =2x(x^3+4)-3x^4(x^3+4)^2 =-x^4+8x(x^3+4)^2
O numerador -x^4+8x muda de sinal em x=2 (pois para x>2 tem-se x^4>8x). Isso mostra que f'(x)<0 para todo x>2. Em particular, para n>=3, an=f(n) é decrescente.

Passo 4

Reunindo:
  • an>0,
  • limntoinftyan=0,
  • an é decrescente para n>=3.
Pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 5

Para verificar se é convergência absoluta, note que para n grande
ansimn^2n^3=1n
e a série sum1/n diverge. Logo, a nossa série não converge absolutamente, mas converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

A série
sumn=1^infty(-1)^n+1,n^2n^3+4
converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.

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