Verifique se as séries são convergentes através do Teste da Série Alternada. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
e pede para verificar a convergência usando o Teste da Série Alternada. Para isso, vamos chamar
e checar:
-
para todo , -
, -
é (eventualmente) decrescente.
Passo 2
Verificamos primeiro o limite de
:
Logo, a segunda condição do teste está satisfeita.
Passo 3
Para mostrar que
é decrescente a partir de certo
, consideramos a função contínua
e calculamos a derivada:
O numerador
muda de sinal em
(pois para
tem-se
). Isso mostra que
para todo
. Em particular, para
,
é decrescente.
Passo 4
Reunindo:
-
, -
, -
é decrescente para .
Pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
Passo 5
Para verificar se é convergência absoluta, note que para
grande
e a série
diverge. Logo, a nossa série não converge absolutamente, mas converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.
Resposta
A série
converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.
converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.