Verifique se as séries seguintes convergem ou não:
sumn=1^infty (n!)^2(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty (n!)^2(2n)!
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries de termos não negativos, que consiste em analisar
L = limntoinftyan+1an.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
an = (n!)^2(2n)!,
e observamos que an>0 para todo n. Logo, o teste da razão pode ser aplicado diretamente.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = ((n+1)!)^2(2n+2)!(n!)^2(2n)! = (n+1)^2,(n!)^2(2n+2)(2n+1),(2n)!;(2n)!(n!)^2 = (n+1)^2(2n+2)(2n+1) = n+12(2n+1)

Passo 4

Avaliamo o limite da razão quando ntoinfty:
limntoinftyn+12(2n+1) = 14
Como esse valor L = tfrac14 é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (n!)^2(2n)! converge.

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