Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma. (Dica: use frações parciais e simplifique as somas parciais para revelar cancelamentos.)
sumn=1^infty ln (nn+1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftyln!l(tfracnn+1r)
e, caso convirja, determinar sua soma. O conteúdo envolvido é séries numéricas e o uso da propriedade de logaritmos
ln(a)+ln(b)=ln(ab)
para obter somas parciais telescópicas.

Passo 2

Definimos a soma parcial
SN = sumn=1^N ln!l(tfracnn+1r)
Aplicando a propriedade de soma de logaritmos, temos
SN = ln!l(prodn=1^N tfracnn+1r)

Passo 3

O produto interno telescopa:
prodn=1^N tfracnn+1 = tfrac12timestfrac23timescdotstimestfracNN+1 = tfrac1N+1
Portanto
SN = ln!l(tfrac1N+1r) = -ln(N+1)

Passo 4

Analisamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinftySN = limNtoinftyl(-ln(N+1)r) = -infty
Como esse limite não é finito, a série não converge.

Resposta

A série diverge (as somas parciais tendem a -infty).

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