Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma. (Dica: use frações parciais e simplifique as somas parciais para revelar cancelamentos.)
sumn=2^infty(1n^3-n)

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=2^infty1n^3-n
e, caso ela converja, determinar sua soma. O conteúdo principal é séries infinitas, usando frações parciais para transformar a soma parcial numa forma telescópica.

Passo 2

Observamos que
logo podemos escrever
Multiplicando por
Expandindo e comparando termos de , e constantes vem
Daí e , ou seja .

Passo 3

Substituindo os valores de A,B,C achamos a forma telescópica
1n^3-n =12,1n-1-1n+12,1n+1
Assim a soma parcial até N é
SN=sumn=2^N1n^3-n =12sumn=2^N1n-1 -sumn=2^N1n +12sumn=2^N1n+1

Passo 4

Chamando de Hk=sumj=1^ktfrac1j o k-ésimo número harmónico, temos
sumn=2^N1n-1 =HN-1, sumn=2^N1n =HN-1, sumn=2^N1n+1 =HN+1-l(1+tfrac12r)=HN+1-tfrac32
Substituindo em SN e usando HN+1=HN+tfrac1N+1, HN-1=HN-tfrac1N, chega-se a
SN =14 ;-;12,N(N+1)

Passo 5

Para decidir convergência, tomamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =14 ;-; limNtoinfty12,N(N+1) =14
Isso mostra que a série converge e sua soma é tfrac14.

Resposta

A série converge e
sumn=2^infty1n^3-n ;=;14

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