Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma. (Dica: use frações parciais e simplifique as somas parciais para revelar cancelamentos.)
sumn=1^infty e^1n-e^1n+1

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^inftyl(e^1n-e^1n+1r)
e pede para verificar convergência e, se convergente, encontrar a soma. O método principal aqui é reconhecer que se trata de uma série telescópica, em que muitos termos se cancelam nas somas parciais.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N:
SN=sumn=1^Nl(e^1n-e^1n+1r)
Ao escrever os termos indicamos o cancelamento:
SN=l(e^1-e^12r)+l(e^12-e^13r)+cdots+l(e^1N-e^1N+1r) =e^1-e^1N+1

Passo 3

Para verificar a convergência, tomamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =limNtoinftyl(e - e^1N+1r) =e- e^0 =e-1
Portanto a série converge e sua soma é e-1.

Resposta

A série converge e
sumn=1^inftyl(e^1n-e^1n+1r)=e-1

Exercícios relacionados