Verifique se o subconjunto S do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) é L.I. ou L.D. .
S \doteq\{f, g, h\} e V \doteq C^{\infty}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}), munido das operações usuais, onde
f(x) \doteq 1, \quad g(x) \doteq \operatorname{sen}(x), \quad h(x) \doteq \cos (x), \text { para } x \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = C^{\infty}(\mathbb{R};\mathbb{R}) e o subconjunto
S = \{f,g,h\},\quad f(x)=1,\;g(x)=\sin(x),\;h(x)=\cos(x).
Queremos verificar se S é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, usamos o conceito de combinação linear: se
\alpha f + \beta g + \gamma h = 0
implica apenas na solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0, então S é L.I.; caso contrário, é L.D.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear nula como função, temos
\alpha\cdot1 + \beta\sin(x) + \gamma\cos(x) = 0
para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Avaliamos essa identidade em pontos convenientes:
Em x=0
\alpha + \gamma = 0.
Em x=\tfrac{\pi}{2}
\alpha + \beta = 0.
Logo
\beta = -\alpha, \quad \gamma = -\alpha.

Passo 4

Substituindo de volta na combinação, obtemos
\alpha + (-\alpha)\sin(x) + (-\alpha)\cos(x) = \alpha\bigl(1 - \sin(x) - \cos(x)\bigr) = 0
para todo x. Como a função 1 - \sin(x) - \cos(x) não é identicamente zero, a única forma de a expressão ser zero para todo x é ter \alpha=0. Consequentemente \beta=\gamma=0.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente.

Exercícios relacionados