Verifique se o subconjunto S é linearmente independente (l.i.) ou linearmente dependente (l.d.):
S=1, sen x, cos x, V=C^infty(R, R)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,1,;sin x,;cos x
é linearmente independente (l.i.) ou dependente (l.d.) no espaço vetorial
,V = C^infty(R,R).
O que precisamos é a definição de independência: S é l.i. se a única combinação linear
que produz a função zero é aquela cujos coeficientes são todos zero.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e igualamos à função zero para todo x:
acdot 1 ;+; b,sin x ;+; c,cos x ;=; 0 forall,xinR

Passo 3

Para forçar todas as possibilidades, avaliamos essa identidade em valores distintos de x e obtemos um sistema para a,b,c.
Em x = 0:
a + bsin(0) + ccos(0) = a + c = 0
Em x = tfracpi2:
a + bsinl(tfracpi2r) + ccosl(tfracpi2r) = a + b = 0
Em x = pi:
a + bsin(pi) + ccos(pi) = a - c = 0

Passo 4

O sistema
a + c = 0, a + b = 0, a - c = 0
implica de a + c = 0 e a - c = 0 que a=0 e c=0.
Substituindo em a + b = 0 b=0.
Logo a única solução é a=b=c=0.

Resposta

O conjunto S=1,sin x,cos x é linearmente independente.

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